УДК 517.9:519.6

Ольга Рибицька

Поняття нечіткого неперервного дробу.

     Математична теорія нечітких множин, яка створена в 60-ті роки для розв'язання вузької утилітарної задачі розпізнавання образів, на теперішній час має застосування в різноманітних галузях наукової та господарської діяльності - від праць щодо створення штучного інтелекту до управління складними технологічними процесами, організації автоматизованої підтримки прийняття рішень. У зарубіжній літературі такі системи відомі під назвою Fuzzi Desision – Support System [1].

     Означення 1. Нехай - множина, злічена або ні, а - елемент . Тоді нечітка підмножина множини визначається як множина впорядкованих пар , , де - характеристична функція належності, що набуває своїх значень в цілком впорядкованій множині , характеризує міру належності елемента підмножині . Множину називають множиною належності. Найчастіше .

     Розглянемо узагальнення класичного поняття дійсного числа, а саме, поняття нечіткого інтервалу [1].

     Означення 2. Функцію : називатимемо референт-функцією нечітких чисел, якщо для неї виконуються умови :

     1). ,

     2). не зростає на .

Приклади референт-функцій :

     а) ;

     б) ;

     в) .

У всіх прикладах .

     Означення 3. Нечітку множину називають нечітким інтервалом, якщо його функція належності виражається через референт-функції і наступним чином

На мал.1 і 2 зображені приклади нечітких інтервалів.

Мал. 1. Функція належності	мал. 2. Трапецієвидна функція належності
з

Для нечіткого інтервалу використовують скорочений запис .

     У співвідношенні (1) можливий випадок, коли . Тоді нечіткий інтервал перетворюється в нечітке число. Для нечіткого числа однозначно визначене звичайне число з є вершиною нечіткого числа. Величини і називатимемо відповідно лівим і правим значеннями ширини проміжку числа . Для нечітке число перетворюється у звичайне число. З іншої сторони із зростанням або число стає все нечіткішим.

     Нечітке число позначають .

     Для розмитих (нечітких, розпливчатих) чисел формально можна ввести всі ті арифметичні операції, які застосовуються для звичайних, чітких чисел. Очевидно, їх потрібно будувати з таким розрахунком, щоб вони залишалися дієздатними і для чітких операндів, набуваючи в цих випадках всіх властивостей однойменних операцій над точковими числами. Бажано, крім того, по можливості берегти змістовий смисл операцій, що мають ту ж назву, що і відповідні операції над чіткими числами.

Для нечітких чисел, а також інтервалів, такі операнди введені. Вони називаються розширеними додаванням, відніманням, множенням. Встановлено відповідні позначення: ,ж . Отже,

де

Для додатних нечітких чисел

або точніше

Для додатного і від'ємного

Для спеціального множення на скаляр

Обернення нечіткого числа , яке позначатимемо через , визначається як

Для додатного нечіткого числа

або більш точно

Оскільки ж то згідно (10) для нечітких додатних чисел одержимо

або точніше

ж                (13)

Для практичних підрахунків використовують також формулу

ж ,               (14)

     Означення 4. Нечітким інтервальним неперервним дробом називатимемо розклад

     По аналогії із класичним випадком розширене ділення

називатимемо n-ною ланкою нечіткого дробу (15), а його чисельник і знаменник членами цієї ланки, або розширеними компонентами.

     Скінчений n-ний нечіткий дріб дробу (15) - називають n-ним неперервним підхідним дробом.

     Надалі розглядатимемо нечіткий числовий неперервний дріб, у якого

і .

Нехай ; а наступні значення ; де визначаються рекурентно

Тоді, згідно (2), (4) і (12) одержимо

Можна також використовувати і формули (2), (4), (13) або (14).

     Приклад 1. Обчислити згідно вказаної вище методики значення дробу

Для числової реалізації цього значення розглянемо, використовуючи заокруглення до четвертої значущої цифри, наступний нечіткий неперервний дріб

Згідно операцій (17) одержано значення дробу (19) у вигляді нечіткого числа

,

що дає змогу автоматично врахувати похибки заокруглення вхідних даних.

     Легко переконатись, що значенням дробу (18) із чотирма вірними знаками є число

Обчислимо його міру належності, взявши за . Маємо

.

Отже, число із достатньо високою мірою належності, а саме , входить у нечітке число . Але, як бачимо, сам вибір референт-функції вимагає додаткових досліджень.

     Реальне підгрунтя для вияснення співвідношення між величинами, які обчислює машина і справжніми значеннями обчислюваної величини дає інтервальний аналіз [2]. Його основна ідея надзвичайно проста. Дійсне число подається в пам'ять комп’ютера не одним, а двома машинними числами, оцінкою знизу і оцінкою зверху, що утворюють інтервальне число. Арифметичні операції над цими числами такі

     У цьому визначенні не допускається ділення на нуль. Вчений В.Кохан запропонував узагальнення операцій вигляду (20). Поряд із звичайними дійсними числами аргументами узагальнених операцій можуть бути .і В деяких випадках результатом операції може бути інтервал, що включає всі дійсні числа. Допускаються також інтервали , причому дозволено приймати і і . Більше того, може бути меншим за . Наприклад, запис заміняє вираз . Подібні об'єкти виникають в результаті дозволеного в цій арифметиці ділення на інтервал, що містить нуль. Для інтерпретації такого подання інтервалів використовується орієнтоване коло, на якому розміщуються дійсні числа. Введені таким чином інтервали можуть містити , бути відкритими і напіввідкритими. Визначається їх арифметика.

     Означення 5. Інтервальним неперервним дробом називається розклад вигляду

із арифметикою або (21), або введеною В.Коханом. В (21) і - відповідно оцінки знизу і зверху числових величин і , де .

     Приклад 2. Згідно заокруглення до четвертої значущої цифри складено для дробу (18) інтервальний дріб

Значення цього дробу згідно арифметичних правил (21) таке:

(23)

Як бачимо, точне значення

міститься в проміжку (23), але оцінка похибки обчислень нечіткого дробу (19) більш точна, оскільки . Крім того, нечітке обчислення встановлює одночасно наближене значення обчислюваної величини, а також міру належності елементів заданій підмножині.

Література.

1. Rommelfanger H. Fuzzy Secision Support-Systeme, Springer-Verlag, 1994.

2. Альфельд Г., Херцбергер Ю. Введение в интервальные вычисления. Пер. с англ. - М.; Мир, 1997.-360с.

3. Kohan W.M. A more complete interval arithmetic, Report, Univ. of Toronto, 1968.