Evaluations of a spectrum and density of electrons states of disordered s-d model

Yu.Rudavsky, G.Ponedilok, L.Dorosh

State University ``Lvivska Politechnika''
12 S.Bandera St., 290646 Lviv-13, Ukraine

April 15, 1998

Abstract

The long-wave spin excitations in the perfect and structurally disordered versions of s-d model are studied. The Hamiltonian of the model includes besides usually treated spin-electron processes the Heisenberg exchange interaction of atomic spins and the Coulomb interaction of conductive electrons. Hartree-Fock and

Introduction

За останнi десятилiття вiдбулося змiщення фокусу iнтересiв в фiзицi конденсованих середовищ i значно розширилися її межi, охопивши новi класи матерiалiв i явищ. Значна частина дослiджень була вiдведена на молекулярну структуру рiдин, аморфнi напiвпровiдники, сильно легованi напiвпровiдники, розчини полiмерiв, магнiтнi фазовi переходи, електричнi i оптичнi властивостi рiдких металiв, склоподiбний стан речовини, невпорядкованi сплави, пари металiв i безлiч iнших цiкавих систем.

В рядi фiзично цiкавих невпорядкованих систем вiдхилення силового поля вiд перiодичного виявляються рiзними - i при цьому випадково рiзними - в рiзних точках зразку потенцiальна енергiя електронiв мiстить складову, хаотично змiнну в просторi. Iншими словами, вона являє собою випадкову функцiю координат. Вiдповiдно ми приходимо до уявлення про силове поле, характеристики якого можна задавати лише статистично. Таке поле є випадковим. Наявнiсть його складає чи не найхарактернiшу рису багатьох невпорядкованих систем. Однак, випадковi варiацiї в розмiщеннi атомiв речовини не обов'язково спричинюють появу суттєвої випадкової складової в потенцiальнiй енергiї носiя заряду. Суть справи краще зрозумiла на прикладi матерiалу, що мiстить декотрi хаотично розмiщенi в просторi точковi дефекти структури. Потенцiальну енергiю електрона V в полi, створеному такими дефектами, можна описати у виглядi:

V(r) =

е
i

v(r-R_i)

тут v(r-R_i) - потенцiальна енергiя електрона в полi окремого точкового дефекту, розмiщеного в точцi R_i; iндекс i нумерує дефекти. Через випадковiсть координат дефектiв R_i величина V(r) є формально випадкова функцiя. На поведiнцi електронiв це, однак, не завжди помiтно.

Статистична постановка задачi стає необхiдною: будується, наприклад, задача про енергетичний спектр системи. При цьому використання звичайного квантово-механiчного апарату хвильових функцiй не завжди зручне (хоча i не неможливе). На перший план висувається метод функцiй Єрiна, який дозволяє, уникаючи громiздкого трактування шредiнуерiвських хвиль у випадковому середовищi на мовi диференцiальних рiвнянь, безпосередньо обчислювати величини, якi вимiрюються в дослiдах (густину станiв, електропровiднiсть та iншi).

В iдеальному кристалi часто виявляється можливим замiнити атом елементу A атомом iншого елементу B майже без локального спотворення решiтки. Це явище, яке спостерiгається для рiзних елементiв в металах, напiвпровiдниках й iонних кристалах вiдiграє важливу роль в металургiї та iнших областях матерiалознавства. Якщо вузли, в яких вiдбувається замiщення, самi по собi не утворюють перiодичну гратку, то це - безпорядок замiщення. На практицi теорiя невпорядкованих систем застосовується до iдеалiзованих моделей сплавiв. Навiть у випадку сплаву малої концентрацiї "домiшковий атом", може, взагалi кажучи, вiдрiзнятися за розмiром вiд замiщуваного атому, так що поблизу нього гратка дещо викривлюється. Замiна може також вплинути на розподiл електронiв в околi домiшкового атома.

Ми розглядатимемо дещо спрощену модель атомної структури середовища, коли вважатиметься, що розмiри домiшок та замiщуваних атомiв є однаковими. Будемо розглядати конкретний випадок електрон-атомних взаємодiй, який має безпосереднє вiдношення до реальних фiзичних об'єктiв. Припускається, що атоми одного сорту володiють локалiзованими магнiтними моментами, а iншого сорту - не володiють. Таку систему можна описати s-d моделлю.

1 Spin-electron model of amorphous magnetic

Розглянемо аморфну бiнарну сумiш N атомiв в об'ємi V М \Bbb R³, частина з яких володiє локалiзованими магнiтними моментами (далi - магнiтна пiдсистема сплаву), а iншi атоми не мають локалiзованих магнiтних моментiв (немагнiтна пiдсистема аморфного сплаву). Координати атомiв (R₁,...,R_N) = \Bbb R^N О V можуть приймати довiльнi випадковi значення. Кiлькiсне спiввiдношення мiж магнiтними i немагнiтними атомами характеризується концентрацiєю c (0 Ј c Ј 1). Для спрощення будемо вважати, що всi iншi характеристики (маси, ефективнi розмiри, ефективнi потенцiали мiжатомних взаємодiй i т.д.) магнiтних i немагнiтних атомiв є iдентичнi. Це дає змогу розглядати бiнарний сплав з точки зору його структури як односортну аморфну систему, оскiльки магнiтнi взаємодiї слабо впливають на структуру.

Мiкроскопiчна модель аморфного магнетика складається з двох квантових пiдсистем - пiдсистеми локалiзованих атомних спiнiв i електронiв провiдностi. Взаємодiя мiж двома пiдсистемами має обмiнний характер. Модельний гамiльтонiан запишемо у виглядi

^
H

el-s

(1)

Перший доданок описує енергiю пiдсистеми локалiзованих спiнiв, що знаходяться у зовнiшньому магнiтному полi h i попарно взаємодiють мiж собою за посередництва уайзенбергiвського обмiну

^
H

= -mh

е
1 Ј j Ј N

^
c

S_j^z-

е
1 Ј i № j Ј N

J(|R_i-R_j|)

^
c

S_i

^
c

S_j.

(2)

Тут m - магнiтний момент атомiв, а S_j - оператор спiна магнiтного атома, що знаходиться в точцi R_j О V. Оператор спiна задовольняє умовi |S_j|² = S(S+1), де ¹/₂ Ј S < Ґ - величина спiна атома. Зовнiшнє магнiтне поле h спрямоване вздовж осi OZ лабораторної системи координат. Формальний оператор заповнення точок простору магнiтними атомами:

^
c

м
н
о

коли в точцi R_j знаходиться магнiтний атом ,

коли в точцi R_j знаходиться немагнiтний атом .

В термiнах операторiв

S_q^a =

ЦN

е
1 Ј j Ј N

^
c

S_j^a e^-iqR_j , a = x,y,z.

(3)

гамiльтонiан (2) набуває вигляду

^
H

N c S(S+1)J(|R| = 0)-mh

е
1 Ј j Ј N

^
c

S_j^z-

е
q О L

J_qS_qS_-q .

(4)

Тут фур'є-компоненти iнтеграла обмiнної спiн-спiнової взаємодiї

J_q =

у
х
V

dr J(|r|) e^-iqr .

(5)

Електронна пiдсистема описується в рамках псевдопотенцiального пiдходу. Така апроксимацiя, як вiдомо, є придатною для простих металiв. Для перехiдних елементiв необхiдно враховувати уточнення по формi псевдопотенцiалу. Гамiльтонiан електронiв провiдностi запишемо у представленнi вторинного квантування на плоских хвилях j(r) = V^-1/2exp(ikr) , де хвильовий вектор k О L. Iмпульсний квазiнеперервний простiр

L = {k: k =

е
1 Ј a Ј 3

2p V^-1/3n_ae_a, n_a О \Bbb Z, (e_a,e_b) = d_ab}.

З врахуванням процесiв розсiяння електронiв на iонах гамiльтонiан електронної пiдсистеми

^
H

е
k О L

е
s = ±1

E_ks a_k,s⁺a_k,s+

е
k,q О L

е
s±1

W_qa_k,s⁺a_k-q,s .

(6)

Тут a_ks⁺(a_ks) - фермiєвськi оператори народження (знищення) електронiв у станах {k,s}. Iндекс s приймає значення, що вiдповiдають двом можливим проекцiям електронного спiна на вiсь квантування OZ . В роботi одночасно буде використовуватись також позначення s = (,Ї). Спектр вiльного електронного газу при наявностi зовнiшнього магнiтного поля h :

E_ks =

(^h/_2p)²k²

-k_sm_Bh.

(7)

Тут числовий коефiцiєнт

k_s =

м
н
о

якщо s = ( або 1 )

-1,

якщо s = Ї ( або -1 )

Потенцiал розсiювання електронiв провiдностi на iонах

W_q =

N
е
j = 1

e^-iqR_jw_q , w_q =

у
х
V

dr w(|r|) e^-iqr ,

(8)

де w(|r|) - псевдопотенцiал електрон-iонної взаємодiї. Для локальних псевдопотенцiалiв матричний елемент потенцiалу розсiювання електронiв на iонах w_q залежить тiльки вiд модуля iмпульсу передачi.

Енергiя спiн-електронної взаємодiї у координатному представленнi має вигляд :

^
H

el-s

= -

N
е
j = 1

I(|r_i-R_j|)

^
c

s_i S_j,

(9)

де s_i - оператор спiна електрона, локалiзованого у точцi r_i О V. Декартовi компоненти оператора спiна електрона s_j^a = [^(s)]^a/2, a = x,y,z , де [^(s)]^a - матрицi Паулi. Iнтеграл обмiнного спiн-електронного зв'язку у випадку контактної взаємодiї описується виразом

I(|R_i-r_j|) = I d(|R_i-r_j|).

(10)

Параметр взаємодiї I може бути як додатнiй так i вiд'ємний. Якщо I > 0, то зв'язок називається феромагнiтним, якщо I < 0 - антиферомагнiтним. Для неконтактних взаємодiй, в принципi, не виключається знакозмiнна залежнiсть взаємодiї I(|R_i-r_j|) вiд вiддалi.

У зображеннi вторинного квантування по плоских хвилях вiльних електронiв гамiльтонiан спiн-електронної взаємодiї

^
H

el-s

= -

ЦN

е
q О L

I_q

м
н
о

S_q^z

^
s

z
-q

й
л

S_q⁺

^
s

-
-q

+ S_q^-

^
s

+
-q

щ
ы

ь
э
ю

(11)

Оператор

S_q^a =

ЦN

е
1 Ј j Ј N

^
c

S_j^a e^-iqR_j , a = z,+,-.

(12)

де оператори перевороту спiна S_j^± = S_j^x±S_j^y. У випадку граткових систем (R_j О \Bbb Z³) оператор (12) є точним фур'є-образом операторiв S_j^a. Хвильовий вектор q змiнюється в межах першої зони Брiллюена.

У формулi (11) означенi бiлiнiйнi комбiнацiї операторiв народження i знищення електронiв

^
s

z
q

е
s = ,Ї

k_s

^
n

q,s

^
n

q s

е
k О L

a_k,s⁺ a_k+q,s ,

^
s

+
q

е
k О L

a_k,⁺ a_k+q,Ї ,

^
s

-
q

е
k О L

a_k,Ї⁺ a_k+q,

Тут фур'є-компоненти n_q оператора електронної густини

^
n

(r) =

е
s = ,Ї

^
Y

+
s

(r)

^
Y

(r),

(13)

де [^(Y)]_s(r) - польовий оператор, що описує знищення електрона з проекцiєю спiна s = ,Ї на вiсь квантування в точцi r О V:

^
n

у
х

^
n

(r) e^-iqr;

^
n

(r) =

е
q О L

^
n

e^iqr.

(14)

Оператор [^(s)]_q^z представляє собою фур'є-компоненти оператора густини електронної спiнової поляризацiї. Оператори [^(s)]_q^± є фур'є-компонентами операторiв [^(s)]⁺(r) = [^(Y)]⁺(r)[^(Y)]_Ї(r) та [^(s)]^-(r) = [^(Y)]_Ї⁺(r)[^(Y)](r), що описують процеси перевороту електронного спiна в точцi r О V. Легко показати, що оператори (13) задовольняють таким спiввiдношенням

(

^
n_q

)⁺ =

^
n

-q

; (

^
s

z
q

)⁺ =

^
s

z
-q

; (

^
s

±
q

)⁺ =

^
s

-±
-q

(15)

тобто лише [^(n)]_q та [^(s)]_q^z є ермiтовими операторами.

Фур'є-компоненти iнтегралу обмiнної спiн-електронної взаємодiї

I_q =

у
х
V

I(|r|) e^-iqr dr , q О L.

(16)

В цiй роботi не розглядаються прямi мiжелектроннi взаємодiї. Опосередковано такi взаємодiї можна врахувати через екранування псевдопотенцiалу.

2 Structural correlation functions

При розрахунках спостережуваних значень фiзичних величин необхiдно здiйснювати конфiуурацiйне засереднення. Зупинимось детально на схемi конфiуурацiйного засереднення в описанiй вище моделi бiнарного магнiтного сплаву. Оскiльки припускається, що всi атоми є одинаковими i магнiтнi взаємодiї не впливають на конфiуурацiю, або принаймнi впливають незначно, то можна уникнути необхiдностi iдентифiкацiї розподiлу атомiв рiзних сортiв за допомогою додаткового сортового iндекса. Для цього достатньо прийняти, що iмовiрнiсть просторового розташування атомiв в точках [R^N] О V та iмовiрнiсть заповнення цих точок атомами рiзних сортiв є незалежними. Тому густина iмовiрностi розподiлу атомiв бiнарної системи в об'ємi V розпадається на добуток функцiй розподiлу

P_N(

^
c

R₁;...;

^
c

R_N) = C_N(

^
c

,...,

^
c

)P_N(R₁,...,R_N).

(17)

Тут P_N(R^N) - густина iмовiрностi розподiлу системи атомiв у просторi, а C_N([^(c)]^N) - густина розподiлу атомiв рiзних сортiв по фiксованих точках простору. Засереднене по всiх можливих конфiгурацiях значення випадкової фiзичної величини ( наприклад, вiльної енергiї ) F([^(c)]₁R₁;...;[^(c)]_NR_N) розраховується за формулою

бF(

^
c

R₁;...;

^
c

R_N)с_conf =

у
х
V^N

е
[[^(c)]^N]

^
c

R^N)C_N(

^
c

)P_N(R^N) dR^N .

(18)

Символ б(...)с_conf тут i далi буде означати повне конфiуурацiйне засереднення по нормованому розподiлу (17). Таке конфiуурацiйне середнє можна трактувати як подвiйне:

б(...)с_conf = бб(...)с_cс_R

(19)

де б(...)с_R означає середнє по розподiлу атомiв у просторi, а б(...)с_c - середнє по заповненню фiксованих точок простору атомами рiзних сортiв. Деталiзацiя густини розподiлу C_N([^(c)]^N) та P_N(R^N) необхiдна лише при безпосередньому розрахунку конфiгурацiйно засереднених значень спостережуваних величин.

Структуру аморфної системи зручно описувати кореляцiйними функцiями

Q_n(k₁,...,k_n;c) = б

^
c

k₁

...

^
c

k_n

с_conf^irr.

(20)

Тут позначено

^
c

ЦN

N
е
j = 1

^
c

e^-ikR_j, k = 0.

Якщо атоми утворюють правильну кристалiчну гратку, то [^(c)]_k - матимуть змiст фур'є-коефiцiєнтiв флуктуацiй концентрацiй. Хвильовий вектор буде змiнюватись у межах першої зони Брiллюена. У цьому випадку

^
c

k₁

^
c

k_n

с_c = б

^
c

j₁

^
c

j₂

^
c

j_n

с_c d_{k₁+...+k_n,0}

(21)

Середнє по заповненню фiксованих точок простору атомами рiзних сортiв б[^(c)]_j₁...[^(c)]_{j_n}с_c можна виразити через незвiднi середнi P_m(c) = б[^(c)]_j₁...[^(c)]_{j_n}с_c^irr, твiрний функцiонал яких [3]:

g(t;c) =

е
m і 1

P_m(c)

t^m

= ln(1-c+c e^t).

(22)

Декiлька перших кумулянтiв є такими

P₁(c) = c,

P₂(c) = c(1-c),

P₃(c) = c(1-c)(1-2c),

P₄(c) = c(1-c)(1-6c+6c²),

...........................................................................

(23)

Кореляцiйнi структурнi функцiї зводяться до такої форми :

Q₁(k;c) = 0,

Q₂(k₁,k₂;c) = c(1-c+c S₂(k₁,-k₁)) d_k₁+k₂,0 ,

Q₃(k₁,k₂,k₃;c^N) =

ж
з
и

c(1-c)(1-2c)

ЦN

3c²(1-c)

ЦN

S₂(-k₃,k₃)+

c³ S₃(k₁,k₂,k₃)

ц
ч
ш

d_{k₁+k₂+k₃,0} ,

Q₄(k₁,k₂,k₃,k₄;c^N) =

ж
з
и

c(1-c)(1-6c+6c²)

4c²(1-c)(1-2c)

S₂(-k₄,k₄)+

6c²(1-c)²

S₂(k₁+k₂,-k₁-k₂)+

4c³(1-c)

ЦN

S₃(k₁+k₂,k₃,k₄)+

c⁴ S₄(k₁,k₂,k₃,k₄)

ц
ч
ш

d_{k₁+k₂+k₃+k₄,0}+6c²(1-c)²d_k₁+k₂,0 d_k₃+k₄,0 ,

.........................................................................

(24)

Кореляцiйнi функцiї флуктуацiї атомної густини

S_m(k₁,...,k_m)d_{k₁+...+k_m,0}

def
=

й
к
л

ЦN

щ
ъ
ы

2-m

бr_k₁...r_{k_m}с_R^irr

(25)

неможливо розрахувати з перших принципiв. Формально це можна зробити лише для рiдких рiноважних систем, скориставшись рiвняннями статистичної механiки. Тому вважатимемо їх феноменолоуiчно заданими величинами. При чисельних розрахунках для структурного фактору S₂(k,-k) можна використовувати, зокрема, експериментальнi значення.

Можна використати також наближенi аналiтичнi вирази для функцiї S₂(k). Зокрема зручною є аналiтична форма для S₂(k) отримана для систем абсолютно твердих сфер у наближеннi Перкуса-Йевека:

S₂(q)

= 1+

24h

(1-h)⁴

1
у
х
0

dxsin(qx)

м
н
о

(1+2h)²x-6h

ж
з
и

ц
ч
ш

x²+

(1+2h)²x⁴

ь
э
ю

(26)

Тут q = k·a - iмпульс у безрозмiрних одиницях, a - дiаметр атома. h = [(p)/ 6]ra³ - густина упаковки, r - атомна густина. Вираз (26) можна переписати i в такiй формi

S₂(q) =

м
н
о

1+A

cosq

q²

sinq

q³

Ccosq+D

q⁴

sinq

q⁵

(cosq-1)

q⁶

ь
э
ю

-1

де коефiцiєнти

A = -

12h(h+2)

(h-1)²

, B =

24h(5h²+5h-1)

(h-1)³

, C =

72h²(7h²+4h-2)

(h-1)⁴

D =

72h²(h+2)²

(1-h)⁴

, E = -

72h²

ж
з
и

ц
ч
ш

(1-h)⁴

Для вищих структурних функцiй S₃,S₄ i т. д. також можна скористатися наближеними виразами.

Будемо припускати, що флуктуацiї атомної густини r_k розподiленi за гаусовим законом. Функцiю розподiлу виберемо у виглядi

P(...,r_k,...) =

Х
k № 0

2pS₂(k)

exp

й
к
л

е
k № 0

r_kr_-k

S₂(k)

щ
ъ
ы

(27)

У цiй функцiї параметри

S₂(k) =

у
х

(dr_k) r_k r_-k P(...,r_k,...)

(28)

мають змiст парного структурного фактора системи, оскiльки iнтегрування у формулi (28) по r_k з функцiєю розподiлу (27) еквiвалентне операцiї конфiуурацiйного засереднення б(...)с_R.

Вибiр функцiї P(...,r_k,...) дає змогу записати вирази для структурних функцiй вищого порядку

S_m(k₁,...,k_m)

def
=

бr_k₁,...r_{k_m}с_R =

у
х

(dr_k) r_k₁јr_{k_m} P(...,r_k, ...).

(29)

Оскiльки розподiл (27) - гаусовий, то всi структурнi кореляцiйнi функцiї з непарним значенням m дорiвнюють нулю.

Коли m парне (m = 2n), то

S_2n(k₁,...,k_2n) =

е
{p}

бr_{k_i₁} r_{k_j₁}с бr_{k_i₂} r_{k_j₂}с...бr_{k_{i_n}} r_{k_{j_n}}с =

е
{p}

S₂(k_i₁)d_{k_i₁+k_j₁,0} S₂(k_i₂)d_{k_i₂+k_j₂,0}јS₂(k_{i_n})d_{k_{i_n}+k_{j_n},0}.

(30)

Сумування у цiй формулi проводиться по всiх можливих розбиттях множини хвильових чисел k₁,...,k_2n на пари. Легко переконатись, що iснує s = (2n)!/2ⁿ·n способiв такого розбиття. Отже, коли n = 1, то s = 1, тобто отримуємо формулу (28). Якщо ж n = 2, то структурна функцiя

S₄(k₁,k₂,k₃,k₄) = S₂(k₁) S₂(k₃) d_k₁+k₂,0d_k₃+k₄,0+S₂(k₂) S₂(k₄) d_k₂+k₃,0 d_k₁+k₄,0+

+S₂(k₁) S₂(k₂) d_k₁+k₃,0 d_k₂+k₄,0.

(31)

3 Electron Green functions

Інформація про спектр електронів та густину одноелектронних станів міститься в одночастинковій функції Єріна. Ми будемо використовувати двочасові запізнюючі функції Єріна :

бб

^
A

(t)|

^
B

(tў)сс_w = -iQ(t-tў)б[

^
A

(t),

^
B

(tў)]₊с.

(32)

Тут [^(A)]_i(t) і [^(B)]_j(tў) - сукупність антикомутуючих операторів, залежних від часу через представлення Гейзенберга. Символ б(ј)с тут i далi означає термодинамічне засереднення по великому канонічному ансамблю Гібса:

б(ј)с = Sp [(ј) e^-b(W-H+m)].

(33)

Тут W - великий термодинамiчний потенцiал.

Корелятор б[^(B)]_j(tў)[^(A)]_i(t)с знаходиться з спектральної теореми

^
B

(tў)

^
A

(t) с = i

lim
e® 0

у
х

Ґ

-Ґ

бб

^
A

^
B

сс_{w+ i e} -бб

^
A

^
B

сс_{w- i e}

e^bw-1

e^{-i w(t-tў)} dw,

(34)

де b = (k_B T)^-1 - обернена температура в енергетичних одиницях.

Властивостi електронної пiдсистеми моделi можна описати функцiями Єрiна. Зокрема через одноелектронну функцiю Єрiна G(k,q|w):

G(k,q|w) = ббa_k,s| a_q,s^ў⁺сс_w.

(35)

виражається розподiл електронiв за iмпульсами

n_k,s = б

^
n

k,s

с = i

lim
e® 0

+Ґ
у
х
-Ґ

ббa_k,s|a_k,s⁺сс_w+ie-ббa_k,s|a_k,s⁺сс_w-ie

e^bw+1

dw =

2pi

у
(з)
х

e^bw+1

2pббa_k,s|a_k,s⁺сс_w.

Контур iнтегрування лежить у комплекснiй площинi g: (-Ґ;-ie)®
®(+Ґ;-ie)®(+Ґ;+ie)®(-Ґ;+e)®(-Ґ;-ie). На останньому етапi необхiдно здiйснити граничний перехiд ie®0.

Спектр електронiв виражається через дiйсну частину, а густина станiв - через уявну частину полюса функцiї Єрiна (35)

Рiвняння руху для одноелектронної функцiї Грiна

(^h/_2p)wббa_ks|a_qsў⁺сс_w =

б[a_ks,a_qsў⁺]₊с+бб[a_ks,

^
H

]_-| a_qsў⁺сс_w.

(36)

Використовуємо антикомутацiйнi спiввiдношення для фермi-операторiв
a_k,s(a_k,s⁺):

[a_ks,a_qsў]₊ = 0; [a_ks⁺,a_qsў⁺]₊ = 0

[a_ks,a_qsў⁺]₊ = d_k,q d_s,sў

(37)

а також комутатори

[a_k,s,

^
s

z
q

]_- =

k_s·a_k+q,s, [a_k,s,

^
s

+
q

]_- = a_k+q,Ї·d_s, ,

[a_k,s,

^
s

-
q

]_- = a_k+q,·d_s,Ї.

Тодi рiвняння руху матиме вигляд

((^h/_2p)w-E_k,s)ббa_k,s|a_q,s⁺сс_w =

d_k,q+

е
p О L

W_pббa_k-p,s|a_q,s⁺сс_w-

2ЦN

е
p О L

I_p(k_sббS_p^z a_k-p,s|a_q,s⁺сс_w+d_Ї,sббS_p⁺a_k-p,|a_q,s⁺сс_w+

+d_,sббS_p^-a_k-p,Ї|a_q,s⁺сс_w)

Останнє рiвняння можна записати бiльш компактно

((^h/_2p)w-E_k,s)ббa_k,s|a_q,s⁺сс_w =

d_k,q+

е
p О L

W_pббa_k-p,s|a_q,s⁺сс_w-

2ЦN

е
p О L

I_p{k_sббS_p^z a_k-p,s|a_q,s⁺сс_w+ббS_p^-sa_k-p,-s|a_q,s⁺сс_w}

де s = +1,-1 (або s = ,Ї). Введемо таке позначення для вищих функцiй Єрiна, якi входять у рiвняння (38)

L^s(p,l;q|w) = ббS_p^z a_l,s|a_q,s⁺сс_w ,

M^s(p,l;q|w) = ббS_p^-s a_l,-s|a_q,s⁺сс_w ,

(38)

Тодi рiвняння (38) запишеться так:

((^h/_2p)w-E_k,s)G^s(k,q|w) =

d_k,q+

е
p О L

W_pG^s(k-p,q|w)-

2ЦN

е
p О L

I_p{k_s L^s(p,k-p;q|w)+ M^s(p,k-p;q|w)}

Для замикання цього рiвняння необхiдно здiйснити розщеплення функцiй L^s(p,k-p;q|w) та M^s(p,k-p;q|w), або записувати для них рiвняння руху. Спочатку проведемо розщеплення.

4 Approximation of magnetic self-consisting field

Зробимо наближення у рiвняннi (38): розщепимо функцiю Єрiна в такий спосiб:

L^s(p,k-p;q|w) = ббS_p^z a_k-p,s|a_q,s⁺сс_w ® бS_p^zс ббa_k-p,s|a_q,s⁺сс_w,

M^s(p,k-p;q|w) є 0

(39)

i позначимо середнє бS_j^zс є M. Таке середнє має змiст намагнiченостi у пiдсистемi локалiзованих спiнiв. Тодi

бS_p^zс =

ЦN

N
е
j = 1

M e^-ipR_j.

Отримаємо:

((^h/_2p)w-E_k,s)ббa_ks|a_qs⁺ сс_w =

d_k,q+

е
p О L

W_pббa_k-ps|a_qs⁺сс_w-

2ЦN

е
p О L

I_pk_s M

ЦN

n
е
j = 1

e^-ipR_j ббa_k-ps|a_qs⁺сс_w.

Враховуючи вираз для W_p з (8) можемо об'єднати всi доданки у ефективний псевдопотенцiал

~
W

p,s

n
е
j = 1

e^-ipR_j

ж
з
и

w_p-

I_p M k_s

ц
ч
ш

n
е
j = 1

e^-ipR_j

~
w

p,s

(40)

Рiвняння для функцiї Єрiна записується так:

((^h/_2p)w-E_k,s)ббa_ks|a_qs⁺ сс_w =

d_k,q+

е
p О L

~
W

p,s

ббa_k-ps|a_qs⁺сс_w.

(41)

або у таких позначеннях

((^h/_2p)w-E_k,s)G(k,q|w) =

d_k,q+

е
p О L

~
W

p,s

G(k-p,q| w).

(42)

Будемо розраховувати засереднену по конфiуурацiях функцiю Єрiна:

((^h/_2p)w-E_k,s)бG(k,q|w)с_conf =

d_k,q+

е
p О L

~
W

p,s

G(k-p,q|w)с_conf.

(43)

Конфiуурацiйне серднє у правiй частинi не можна роздiлити на добуток середнiх.

((^h/_2p)w-E_k-p,s)G(k-p,q|w) =

d_k-p,q+

е
pў О L

~
W

pў,s

G(k-p-pў,q|w).

(44)

Тому запишемо точне рiвняння для середнього б[(W)\tilde]_p,s G(k-p,q|w)с_conf

((^h/_2p)w-E_k-p,s)б

~
W

p,s

G(k-p,q|w)с_conf =

d_k-p,qб

~
W

p,s

с_conf+

е
pў О L

~
W

p,s

~
W

pў,s

G(k-p-pў,q|w)с_conf.

Тепер зробимо друге наближення: припустимо, що можна розщепити так

~
W

Gс ® б

~
W

сбGс.

(45)

Засереднюємо за правилами: б[(W)\tilde]_p,sс_conf = 0, тому що у вихiдному гамiльтонiанi в сумах по p доданок з p = 0 вiднесено в енергiю E_k,s, що приводить до змiни вiдлiку енергiї електронiв провiдностi. Конфiгурацiйне середнє

~
W

p,s

~
W

pў,s

с_conf =

S₂(p)

~
w

p,s

~
w

pў, s

d_{p = -pў},

де S₂(p) = бr_p·r_-pс - структурний фактор. Рiвняння для функцiї Єрiна в такому наближеннi замикається:

ж
з
з
з
и

(^h/_2p)w-E_k,s-

е
p О L

S₂(p)|

~
w

p,s

|²

(^h/_2p)w-E_k-p,s

ц
ч
ч
ч
ш

бG(k,q|w)с_conf =

d_k,q.

(46)

Звiдси засереднена за конфiуурацiями функцiя Єрiна G(k,q|w) є бG(k,q|w)с_conf:

G(k,q|w) =

d_k,q

ж
з
з
з
и

(^h/_2p)w-E_k,s-

е
p О L

S₂(p)|

~
w

p,s

|²

(^h/_2p)w-E_k-p,s

ц
ч
ч
ч
ш

-1

(47)

Через власноенергетичну частину

S(k|w) =

е
p О L

S₂(p) |

~
w

p,s

|²

(^h/_2p)w-E_k-p,s

функцiя Єрiна записується так

G(k,q|w) =

d_k,q

((^h/_2p)w-E_k,s-S(k|w))

(48)

Рiвняння для спектру електрона у стонерiвськiй пiдзонi з орiєнтацiєю спiна рiвною s знаходиться з умови рiвностi нулю дiйсної частини знаменника функцiї Єрiна i набуває такого вигляду:

(^h/_2p)w = E_k,s+

е
p О L

S₂ (p) |

~
w

p,s

|²

(^h/_2p)w-E_k-p,s

(49)

Густина станiв згiдно з означенням

r^s(w) є i

lim
e®0

е
k

[G(k|w+ie)-G(k|w-ie)].

(50)

Для тривiального випадку, коли S(k|w) є 0, отримується вiдома формула

r^s(w) =

m^3/2

Ц2 p² (^h/_2p)³

ж
Ц

(^h/_2p)w+k_sm_Б h+

~
W

(51)

яка описує густину станiв вiльних електронiв у зовнiшньому магнiтному полi. При розрахунках спектру використана вiдома формула Сохоцького

x+ie

= P

-ip d(x).

У випадку S(k|w) № 0 роздiлимо її на дiйсну i уявну частини:

S(k|w) = Sў(k|w)+i Sўў(k|w)

де

Sў(k|w) =

е
p О L

S₂ (p) |

~
w

p,s

|²

(^h/_2p)w-E_k-p,s

Sўў(k|w) = -

е
p О L

S₂(p) |

~
w

p,s

|² d((^h/_2p)w-E_k-p,s).

(52)

Рiвняння для густини станiв, використовуючи означення (51) можна записати у такiй формi

r^s(E) =

m^3/2

Ц2p²(^h/_2p)²

е
i

__
Цt_i

к
к
к
к
к
к
к
к
к
к

-1-

W₀

8p²(^h/_2p)

ж
ъ
Ц

___
Цt_i³

Ґ
у
х
0

dp p S₂(p)|

~
w

p,s

|²ln

к
к
к
к
к
к
к
к
к
к

E+k_sm_Bh-

(^h/_2p)²

([(Ц[(2mt_i)])/( (^h/_2p) )]-p)²

E+k_sm_Bh-

(^h/_2p)²

([(Ц[(2mt_i)])/( (^h/_2p) )]+p)²

к
к
к
к
к
к
к
к
к
к

(53)

W₀

(2p)²(^h/_2p)

ж
ъ
Ц

__
Цt_i

Ґ
у
х
0

dp p S₂(p)|

~
w

p,s

|²

ж
з
з
з
з
з
з
з
з
и

ж
з
и

p(^h/_2p)

[(2mt_i)]

-1

ц
ч
ш

E+k_sm_Bh-

(^h/_2p)²

([(Ц[(2mt_i)])/( (^h/_2p) )]-p)²

ж
з
и

p(^h/_2p)

[(2mt_i)]

ц
ч
ш

E+k_sm_Bh-

(^h/_2p)²

([(Ц[(2mt_i)])/( (^h/_2p) )]+p)²

ц
ч
ч
ч
ч
ч
ч
ч

Evaluations of a spectrum and density of electrons states of disordered s-d model

Yu.Rudavsky, G.Ponedilok, L.Dorosh

State University ``Lvivska Politechnika'' 12 S.Bandera St., 290646 Lviv-13, Ukraine

April 15, 1998

Abstract

Introduction

1 Spin-electron model of amorphous magnetic

2 Structural correlation functions

3 Electron Green functions

4 Approximation of magnetic self-consisting field

State University ``Lvivska Politechnika''
12 S.Bandera St., 290646 Lviv-13, Ukraine