, 
, позначимо її через 
: 
, 
, 
, 
. Серединну поверхню
включення позначимо через 
, а її границю (додатньо орієнтовану відносно 
) – через 
. Точки серединної поверхні, що
лежать на 
, позначимо через 
.УДК 539.37
Ю.К. Рудавський, М.А. Сухорольський, О.А. Микитюк, В.М. Колісник
Поперечні коливання пологої оболонки постійної кривини з жорстким включенням
Розглядається задача про власні і вимушені поперечні коливання шарнірно опертої прямокутної (в плані) пологої трансверсально-ізотропної оболонки з масивним абсолютно жорстким включенням. Серединна поверхня включення симетрична (в розумінні проекцій) відносно осей симетрії серединної поверхні оболонки. Зовнішня сила, що викликає коливання системи, прикладена в центрі включення, діє в напрямку нормалі до серединної поверхні і змінюється за гармонійним законом. Приведена густина включення рівномірно розподілена по його серединній поверхні.
Розв’язок задачі будується методом граничних елементів (МГЕ) [3] з використанням представлень функцій узагальненими сумами рядів Фур’є за системами тригонометричних функцій.
Нехай серединна
поверхня оболонки з включенням віднесена до ортогональної криволінійної системи
координат , , позначимо її через : , , , . Серединну поверхню
включення позначимо через , а її границю (додатньо орієнтовану відносно ) – через . Точки серединної поверхні, що
лежать на , позначимо через .
Диференціальні рівняння поперечних коливань пологої оболонки постійної кривини запишемо у вигляді [1,2]:
, 
,
(1)
;
, 
,
, 
,
, 
, (2)
,
де 
- пружно-геометричні характеристики оболонки; 
- густина; 
- часова координата; 
- товщина оболонки; 
- головні кривини серединної поверхні, які
співпадають з кривинами ліній 
, 
; 
- прогин; v
- потенціали поля тангенціальних переміщень і поля кутів
повороту нормалі до серединної поверхні, 
,
; 
, 
, 
, 
, 
- приведені сили і моменти; 
, 
- компоненти “фіктивних” сили і моменту,
розподілених вздовж кривої 
.
Згідно зі схемою
МГЕ [3] нехтуємо тангенціальними до 
компонентами “фіктивних” сили і моменту. Тоді в (1) можна
прийняти
,
,
, (3)
,
де 
- компоненти одиничного вектора, нормального до 
, 
, 
- нормальні до 
компоненти “фіктивних” величин, 
- дельта-функція Дірака.
Поперечні коливання включення описуються рівнянням
(4)
де 
і 
- амплітуда і частота коливань сили збурення;
- маса; 
- переміщення.
На границі оболонки задовольняємо умови
при
, 
, (5)
при
, 
,
,
,
на
, де 
(6)
Таким чином, система рівнянь (1), (2), (4)-(6) є повною для визначення вимушених (усталених) і власних коливань оболонки з включенням.
Розв’язок
задачі шукаємо у вигляді добутку узагальнених сум рядів за системами
тригонометричних функцій і функції 
,зокрема, для вирішуючих функцій маємо представлення
(7)
де 
, 
.
При цьому умови
(5) задовольняються точно, а з (6) одержимо з врахуванням зображень 
,
,
, систему трьох
інтегральних рівнянь відносно функцій 
, 
і 
і одного алгебраїчного рівняння відносно амплітуди коливання включення
,
(8)
де 
- коефіцієнти біля функцій 
в (7) .
Коефіцієнти 
шукаємо з системи рівнянь
,
,
де 
, 
, 
,
.
Наближений
розв’язок системи (8) шукаємо методом
колокацій [3] зведенням до системи алгебраїчних рівнянь. Числові значення
власних частот коливань оболонки відповідають значенням частоти 
, при яких визначник системи алгебраїчних рівнянь дорівнює
нулеві.
Перелік посилань