УДК 517.91

Б.Б. Пахолок, В.В. Кісілевич

Варіаційна стійкість диференціальних рівнянь з мірами

     Введемо позначення: , ; - банахів простір неперервних справа дійснозначних функцій локально обмеженої на варіації з нормою , де через позначена повна варіація функції на проміжку . Якщо - матриця-функція, то запис означає, що кожен елемент матриці задовольняє умову . При цьому , де під повною варіацією матриці розуміється сума повних варіацій всіх її елементїв, а . - стрибок функції в точці . - простір узагальнених функцій Л. Шварца.

     Розглянемо систему лінійних диференціальних рівнянь з мірами

(1)          ,

де - матриці, - матриця; , , “ ’ “ означає узагальнену похідну в .

     Під розв’язком рівняння (1) розуміється матриця , яка задовольняє це рівняння в сенсі простору . В [1] доведено, що за умов , для рівня (1) коректне (розв’язок визначений однозначно) в . При цьому задача Коші для рівняння (1) має єдиний розв’язок, який еквівалентний розв’язку такого інтегрального рівняння

(2)          .

Спектр наук, де виникають рівняння виду (1) досить широкий: від теорії автоматичного керування, електротехніки до хімічної кінетики, біології, економіки, соціології. З огляду на це важливим є вивчення властивостей розв’язків таких рівнянь, зокрема питання стійкості.

     Розглянемо систему

(3)      

і відповідну збурену систему

(4)      .

У роботі [2] досліджувалась стійкість за Ляпуновим розв’язків системи (4) в припущенні стійкості системи (3). Тут мова йтиме про варіаційну стійкість (стійкість за варіацією), яку вперше ввів H. Okamura. Дамо означення цього поняття (див. [3]).

Означення. Розв’язок рівняння (3) називається варіаційно стійким, якщо для таке, що для довільної функції , яка задовольняє умови

має місце нерівність для .

     У цьому випадку будемо говорити, що рівняння (3) варіаційно стійке. У згаданій роботі [3] вивчалась варіаційна стійкість узагальнених нелінійних диференціальних рівнянь при постійно діючих збуреннях, але при інтерпретації інтегралу в (2) в сенсі Перрона-Стільтьєса.

     Нехай в (3) і (4) матриця є константою в просторі , тобто . Що можна сказати про варіаційну стійкість системи (4) в припущенні варіаційної стійкості (3) ? Відповідь на це питання дає

Теорема. Нехай і система (3) варіаційно стійка. Тоді збурена система (4) буде варіаційно стійкою, якщо , де - як завгодно мале додатне число.

Доведення теореми опирається на одне узагальнення нерівності Гронуолла-Беллмана з [4].

Перелік посилань

1. Стасюк М.Ф. Неклассический интеграл Римана-Стильтьеса и его применение в теории линейных систем // К., 1985. – 25с. – Деп. в Укр НИИНТИ, № 2383.

2. Таций Р.М., Стасюк М.Ф., Пахолок Б.Б. Устойчивость дифференциальных уравнений с обобщенными функциями в коэффициентах // Львов, 1988. – 20с. – Деп. в Укр НИИНТИ, № 793.

3. Schwabik S. Variational stability for generalized ordinary differential equations // Casopis pest.mat., 109 (1984), 389-420.

4. Пахолок Б.Б. Об одном неравенстве типа Гронуолла-Беллмана // Вестн. Львов. политехн. ин-та: Дифференц. уравнения и их приложения.- Львов: Вища школа, 1989. - № 232. – С. 109-110.