УДК 517.948

Багатопараметричний метод ітеративного агрегування для інтегральних рівнянь

Гук В.М., Шувар Б.А.

     Методи ітеративного агрегування недостатньо досліджені [1], однак їх часто використовують без достатнього теоретичного обгрунтування в прикладних задачах високої розмірності, наприклад, в математичній економіці, де, як зазначено в [1], “ці методи виявились вельми ефективними”.

     Розглядатимемо лінійне інтегральне рівняння

               (1)

з неперервними при функціями , . Рівняння (1) подамо у вигляді

,               (2)

де

– параметричний алгоритм ітеративного агрегування за цієї ситуації можна описати за допомогою формул

, (3)

,               (4)

де – задані неперервні функції, – задані числа, а функції означені через рівності

.               (5)

     Вважаючи заданими неперервні функції та числа , запровадимо позначення

де

При цьому вважатимемо, що обернена матриця існує і через позначені її елементи. Тут – одинична матриця розмірності , матриці та означені за формулами , .

     Теорема. Нехай при маємо

, ,

де

; ;

; .

Тоді послідовність , утворена за допомогою ітераційного процесу (3), (4) збігається до єдиного розв’язку (1) рівномірно на сегменті . Ця збіжність не повільніша за збіжність геометричної прогресії із знаменником .

     Доведення грунтується на ідеях і результатах із [2].

     Умови теореми можуть справджуватися і тоді, коли спектральний радіус оператора, породженого правою частиною рівняння (1), більший за одиницю. Приклади підтверджують істотність умов теореми. Можна довести, що рівність нулеві функцій у співвідношеннях (5) призводить до того, що процес (3), (4) вироджується до звичайного методу послідовних наближень

для .

          Література.

1. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы.-М.: Наука, 1985.-255с.

2. Шувар Б.А. О сходимости многопараметрических вариантов метода итеративного агрегирования.-Вестник Львовск. политехн. ин-та, т. 232.-Львов, 1989.-с. 140-142.