Застосування однопараметричних агрегативно-ітеративних методів до лінійних інтегральних рівнянь

Гук В.М.

     Агрегативно-ітераційні методи [1;2] виникли як узагальнення методів ітеративного агрегування, що походять з математичної економіки, де часто їх застосування оправдане практичними результатами [3;4]. Як зазначено в [4], “умови збіжності методів ітеративного агрегування невідомі”. Фундаментальний результат для однопараметричного методу ітеративного агрегування наведений в [4]. Цей результат гарантує збіжність методу при , де – спектральний радіус оператора у рівнянні

,               (1)

яке розглядають у банаховому просторі з конусом додатніх елементів . При цьому фігурують й інші обмеження, які у випадку, коли простір є скінченновимірним розмірності , означають, що компоненти вектора – невід’ємні, а елементи матриці є строго додатніми. Однак, як зазначено в [4], метод нерідко збігається і при . В [1;2] запропонована методика дослідження методів ітеративного агрегування, яка дозволяє розглянути дещо ширший клас ітераційно-агрегативних методів. Цей клас методів охоплює, зокрема, однопараметричне та багатопараметричне агрегування. Отримані достатні умови збіжності, знайдені за допомогою цієї методики, придатні не лише для однопараметричного варіанту методу ітеративного агрегування, а й для багатопараметричних алгоритмів. При цьому компоненти матриці і вектора не мусять бути знакосталими, а спектральний радіус не мусить бути меншим за одиницю. Замітка присв’ячена поширенню деяких результатів із [1;2] на лінійні інтегральні рівняння вигляду

.               (2)

     Рівняння (2) будемо розглядати в класі інтегровних на з квадратом функцій, тобто, вважаємо, що , , . Задамо деяке число (задля спрощень вважатимемо дійсним числом: ) та функцію . Приєднаємо до рівняння (2) рівняння вигляду

,               (3)

у якому – яке-небудь дійсне число. При цьому вважаємо заданою довільно функцію і за її допомогою означимо функцію

.               (4)

     Задамо дійсні числа , а також функції , вимагаючи правдивості рівності

          .               (5)

     Позначимо через множину таких функцій , для яких

.               (6)

     Виберемо довільним способом функцію та число , вимагаючи тільки, щоб .

Досліджуватимемо ітераційний процес, який описується за допомогою формул

,               (7)

.               (8)

     Правдиві такі твердження.

     Лема 1. Якщо є розв’язком системи (2), (3), то .

     Доведення. З (2) та (3) при , отримуємо

.

Змінюючи порядок інтегрування в доданку, який містить і перепозначаючи, де потрібно, через , а через , звідси знайдемо

.

Тому, враховуючи (4), будемо мати

.

Звідси випливає правдивість твердження леми.

Лема 2. Якщо , то .

     Доведення. Очевидно, що з (7), (8) матимемо

     Звідси, маючи на увазі (4) та (5) і там, де це потрібно, міняючи між собою позначення і , отримуємо

.

     Припускаючи, що , звідси отримаємо , бо можна знайти

Згідно з принципом індукції це означає, що лему доведено.

     Лема 3. Нехай задані довільним способом , , причому

.               (9)

     Доведення. Скористаємо із схожих на доведення попередніх двох лем міркувань. Отримаємо

Звідси, завдяки тому, що , випливає включення .

     Зважаючи на лему 3, можемо без обмеження загальності вважати, що припущення в умовах леми 2 справджується.

     Лема 4. Якщо , то

     .               (12)

     Доведення очевидним чином випливає з лем 1 та 2.

     Для конструювання достатніх умов збіжності ітераційного процесу (7), (8) скористаємо з рівностей (2), (3), (7), (8) та з (12). Можна отримати

               (13)

               14)

     Приймемо

               (15)

     Рівності (13), (14) можна подати у вигляді

,               (16)

де ,

.

     Теорема 1. Якщо справджуються умови леми 2, то припущення, що

               (17)

де , а норма породжена елемента , то послідовність збігається до розв’язку не повільніше за геометричну прогресію із знаменником . При цьому , .

     Доведення. З (17) та з рівностей (13), (14) випливає, що оператор є стиском (на ). Тому застосовний принцип Банаха.

     Позначимо

.               (18)

     Теорема 2. Нехай і

.               (19)

Тоді послідовність , побудована за допомогою ітераційного процесу (7), (8), збігається до розв’язку рівняння (2) не повільніше за геометричну прогресію із знаменником .

     Доведення. Оскільки із (7), (8) можна отримати рівності

то з (19) випливає твердження теореми.

     Спеціальний вибір , , дозволяє конкретизувати теореми 1 та 2.

Теорема 3. Якщо є власним числом оператора , означеного за (15), а – власним елементом оператора , – власним елементом спряженого до оператора , які відповідають власному числові , то з припущення, що спектр оператора складають власні числа і, що

,

випливає твердження теореми 2.

     Зауваження. Як вже зазначалося, насправді не конче мусить бути дійсним числом. Результати, наведені вище, можна розповсюдити на загальніші класи рівнянь.

     Зауваження 2. Якщо і справджуються умови теореми 3, то теоретична збіжність цього процесу при практичних обчисленнях для уникнення труднощів, викликаних можливістю нагромадження похибок заокруглень, доцільно використовувати при кожному або при деяких з них рівність (6) як контрольну.

          
                  Література.

  1. Шувар Б.А. О сходимости однопараметрического метода итеративного агрегирования для систем линейных алгебраических уравнений. Львов. политехн. ин-т.-Львов, 1988.-11с.-Деп. в Укр. НИИНТИ 10.06.88, №1473-Ук 88.

  2. Шувар Б.А. Обобщение метода итеративного агрегирования. Львов. политехн. ин-т.-Львов, 1992.-21с.-Деп. в Укр НИИНТИ 15.01.92, № 43-Ук 92.

  3. Дудкин Л.М., Ершов Э.Б. Межотраслевой баланс и материальные балансы отдельных продуктов.-Плановое хозяйство.-1965.-№5.-с. 59-63.

  4. Красносельский М.А., Лифшиц Е.А., Соболев А.В. Позитивные линейные системы.-.: Наука, 1985.-255с.

  5. Михлин С.Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям.-М.: Физматгиз, 1959, с.

записки