УДК 517.948

Гук В.М.

Застосування одного способу параметризації в теорії лінійних інтегральних нерівностей

     Теоремам про оцінки розв’язків в якісній і кількісній теорії різних класів рівнянь належить важлива роль. Це стосується, зокрема, так званих теорем про інтегральні нерівності. Як відомо, теорія інтегральних нерівностей в істотній своїй частині базується, по-перше, на властивості монотонності відповідних операторів, по-друге, на припущеннях, котрі забезпечують збіжність до розв’язку рівнянння тих чи інших ітераційних процесів. Наприклад, у лінійному випадку для того, щоб (див., напр. [1]) з нерівності

               (1)

для розв’язку рівняння

                (2)

випливала на сегменті оцінка

,               (3)

істотніми є припущення про невід’ємність функції та про збіжність методу послідовних наближень, отриманих за формулами

,                (4)

.          (5)

Процес (4) збігається до розв’язку рівняння (2), як відомо, за припущення, що спектральний радіус оператора , породженого правою частиною рівняння (2), менший за одиницю. Для цього достатньо, щоб оператор був стиском. Якщо, зокрема,

,               6)

то оператор є стиском при .

     Замітка присвячена деяким інтегральним нерівностям за умови, що можуть справджуватися і при і базується на ідеях із [2; 3].

     Теорема 1. Нехай 1) і неперервна функція задовольняють рівність

,               (7)

тобто задані власне число і власна функція спряженого до оператора ; 2) справджується умова

               (8)

при 3) функції , , є неперервними при і функція задовольняє нерівність (1); 4) задана неперервна при функція , для якої маємо

, .               (9)

Тоді при справджується оцінка (3), якщо

,               (10)

де

.               (11)

     Доведення. Зазначимо спочатку, що рівність (8) означує множину , до якої належить та . Доведення цього за суттю повторює доведення лем 1 та 2 з [2]. Принцип індукції за умови (4) дає підставу для нерівностей

.

З рівності

,

яка є наслідком щойно зазначених фактів, отримаємо

.

Це гарантує рівномірну збіжність послідовності до і тому теорему можна вважати доведеною.

     Теорема 2. Нехай: 1) справджується умова 1) теореми 1; 2) для неперервних при функцій , , , маємо нерівності

причому для , задовольняють рівність (8) при та при ; 3) існує така неперервна при функція , для якої

;

4) правдиві співвідношення

.

Тоді правдиві оцінки

.

     Зауваження. Якщо в (1) маємо протилежний знак нерівності, то оцінку (3) потрібно замінити протилежною.

Перелік посилань

1. Курпель Н.С., Шувар Б.А. Двусторонние операторные неравенства и их приложения. – Київ: Наук. Думка, 1980.- 267с.

2. Шувар Б.А. О сходимости однопараметрического метода итеративного агрегирования для систем линейных алгебраических уравнений.- Львов: Политехнический ин-т, 1988.- Деп. В Укр НИИНТИ 10.08.88, № 1471.- Ук 88.-11с.

3. Шувар Б.А. Про ітеративне агрегування і метод послідовних наближень.- Вісник Львівськ. Політехн. Ін-ту.-Львів, № 251, 1991.-с. 139-141.