УДК 534.1

Згинальні коливання стержня змінного перерізу з нелінійним законом пружності

В.Д. Гонтар

ДУ “Львівська політехніка”

За наведеною методикою досліджені нелінійні коливання стержневих систем зі змінною площею поперечного перерізу та характерними особливостями.

In accordance with this technique non-linear oscillations of rod systems with wariable area of cross-section and characteristics have been studied.

     Нелінійна теорія розрахунку пружних систем за Каудерером використовується тоді, коли перехід від абсолютно пружного стану в сенсі закону Гука до стану ідеальної текучості здійснюється поступово. Особливо ефективною вона стає у випадку, коли такий перехід проявляє себе при малому навантаженні. Іноді нелінійна теорія дає можливість виявити досить суттєвий вплив на напруження механічної системи навіть малих відхилень від закону Гука [1].

     Розглянемо близький до призматичного стержень змінного поперечного перерізу довжиною , розташувавши його в прямокутній системі координат . Вважатимемо також, що матеріал стержня підлягає нелінійному закону пружності. Дослідимо коливання чистого згину, які можуть виникати в площині внаслідок дії малої збурюючої сили .

     За згаданою вище нелінійною теорією пружна поведінка стержня характеризується співвідношенням

,                (1)

де – повздовжнє напруження; – поздовжнє видовження (деформація); , , – відповідно модулі Юнга, стиску, зсуву, – константа.

     З урахуванням виразу (1) отримуєм нелінійне диференціальне рівняння з частинними похідними відносно переміщення :

,                (2)

де – густина.

     Моменти інерції дорівнюють

;           .

     Досліджуватимемо одночастотні коливання в одній з форм динамічної рівноваги, що виникають при малому згині осі стержня в площині .

     Коефіцієнт у правій частині рівняння (2) є малою величиною і може відігравати роль малого параметра . Розглядатимемо крім цього малі вимушені коливання стержня з розподіленим збурюючим навантаженням, що має такий же порядок малості . Тоді коливання чистого згину стержня буде описувати диференціальне рівняння вигляду (2), в якому перейдемо до безрозмірної координати та поділимо обидві частини на сталу :

.               (3)

     Не конкретизуючи граничні умови розглянемо спочатку незбурену задачу, покладаючи . Відокремлюючи змінні методом Фур”є, отримаємо звичайне диференціальне рівняння зі змінними коефіцієнтами, розв”язок якого, згідно з методикою [2], подамо у вигляді ряду за малим параметром

,          ,                    (4)

.                    (5)

     Число таких наближень визначатимемо відношенням Релея, якщо в якості допустимої функції обрати ряд (5), а для контролю знайти перше власне значення числовим методом.

     Розглянемо тепер збурену крайову задачу.

     Досліджуватимемо одночастотні згинальні коливання, близькі до першого нормального коливання незбуреної системи в умовах головного резонансу .

     Запишемо перше наближення асимптотичного методу КБМ [3]

,                    (6)

де амплітуда та фаза коливань визначаються з системи рівнянь першого наближення

;          .                    (7)

     Застосовуючи методику [3], після деяких перетворень знаходимо

, ,

,               (8)

.

     Нас цікавитеме клас стержнів змінного перерізу, для яких може бути одержаний точний розв”язок рівняння (3) при , тому оберемо стержень з лінійною зміною площі поперечного перерізу, закріплений шарнірно. Із введенням параметра зміни товщини розв”язок рівняння записується у функціях Бесселя. Наближений розв”язок цієї задачі, одержаний модифікованим методом збурень, дається формулами (4-5) з урахуванням площі поперечного перерізу та моментів інерції:

,

,                    (9)

.

     Тепер, згідно з викладеним підходом, ми повинні побудувати допустимі функції у відношенні Релея, яке після спрощення має вигляд

.               (10)

     В якості допустимої функції у формулі (10) використаємо ряд (5), знаходячи послідовно розв”язки відповідної системи рівнянь методу збурень.

     У нульовому наближенні для основної форми коливань .

     Урахувавши цю функцію у відношенні (9), матимемо

.               (11)

     У правій частині першого наближення системи методу збурень

;          .               (12)

     Для знаходження першої поправки власної функції спочатку необхідно знайти першу поправку власного значення

,               (13)

яка з урахуванням (12) та дорівнюватиме

.               (14)

Знайдене значення підставляємо у праву частину першого наближення. Після деяких спрощень рівняння записується

               (15)

     Нас цікавитеме лише частинний розв”язок даного рівняння, що будується у вигляді

.               (16)

     Наведемо знайдені значення коефіцієнтів

               (17)

.

     Тепер може бути побудована допустима функція у першому наближенні , яка контролюється згідно з нашим алгоритмом відношенням Релея.

     Неважко знайти і наступні наближення.

     Для вимушених коливань вищезгаданого стержня

,

,               (18)

.

     Тоді система диференціальних рівнянь (7) матиме вигляд

(19)

.

     Для розв”язування системи диференціальних рівнянь (19) використовується спеціально розроблений алгоритм з залученням чисельних методів [4].

1.  Каудерер Г. Нелинейная механика / М., 1961.

2.  Гонтар В.Д. Нелінійні коливання вертикального стержня змінного перерізу, зумовлені дією осьової пульсуючої сили // Вісн. ДУ “Львівська політехніка”. 1998. № 341. С. 93-97.

3.  Митропольский Ю.А., Мосеенков Б.И. Асимптотические решения уравнений в частных производных / К.., 1976.

4.  Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы / М., 1976.