УФЖ, 1999

Спектр гiдродинамiчних збуджень та часові кореляційні функції суміші магнітних i немагнітних частинок

Hydrodynamic excitation spectrum and time correlation functions for the mixture of magnetic and nonmagnetic particles
Спектр гидродинамических возбуждений и временные кореляционные функции смеси магнитных и немагнитных частиц

Бацевич О.Ф.2, Мpиглод I.М.1, Pудавський Ю.К.2 Токаpчук М.В.1,
О.Ф. Бацевич, И.М.Мpыглод, Ю.К.Pудавский, М.В.Токаpчук
O.F.Batsevych, I.M.Mryglod, Yu.K.Rudavskii, M.V.Tokarchuk
${}^\fnsymbol{footnote}$Iнститут фiзики конденсованих систем НАН Укpаїни (290011, Львiв, вул. Свенцiцького 1)
${}^\fnsymbol{footnote}$ Деpжавний унiвеpситет ``Львiвська Полiтехнiка'' (290013, Львiв, вул. С.Бандеpи 12)

     Анотацiя. Робота присвячена дослiдженню спектру гiдродинамiчних збуджень та розрахунку гiдродинамiчних часових кореляцiйних функцiй для сумiшi магнiтних та немагнiтних частинок. Показано, що з математичної точки зору дана проблема є еквiвалентною до розв'язання спектральної задачi для гiдродинамiчної матрицi еволюцiї. Проаналiзовано структуру гiдродинамiчної матрицi, що слiдує iз властивостей симетрiї системи, i на цiй основi запропоноване узагальнення, в рамках якого є можливим вивчення гiдродинамiки багатокомпонентної сумiшi. У цьому випадку методом матричної теорiї збурень показано, що серед колективних мод є 2 звуковi та m дисипативних мод, де m визначається числом аддитивних iнтегралiв руху. Знайденi аналiтичнi вирази для вагових коефiцiєнтiв, що описують вклад кожної з гiдродинамiчних мод у часовi кореляцiйнi функцiї, побудованi на операторах густини консервативних величин. На цiй основi для випадку двокомпонентної сумiшi магнiтних та немагнiтних частинок у парамагнiтному станi отриманi вирази для динамiчних структурних факторiв системи.

     Анотация. Данная работа посвящена исследованию спектра гидродинамических возбуждений и расчету гидродинпмических временных корелляционных функций для смеси магнитных и немагнитных частиц. Показано, что с математической точки зрения эта проблема эквивалентна решению спектральной задачи для гиродинамической матрицы эволюции. Проанализирована структура гидродинамической матрицы, которая следует из свойств симметрии системы, и на этой основе предложено обобщение, в рамках которого существует возможность изучения гидродинамики многокомпонентных смесей. Для этого случая методом матричной теории возмущений показано, что среди коллективных мод есть две звуковые и m диссипативных мод, где m определяется числом аддитивных интегралов движения. Найдены аналитические выражения для весовых коэффициентов, которые описывают вклад каждой из гидродинамических мод во временные корелляционные функции, построенные на операторах плотности консервативных величин. На этой основе для случая двухкомпонентной смеси магнитных и немагнитных частиц в парамагнитном состоянии получены выражения для динамических структурных факторов системы.

Abstract. This work is devoted to the investigation of hydrodynamic excitation spectrum and hydrodynamic time correlation functions for a mixture of magnetic and nonmagnetic particles. It is shown that from the mathematical point of view this problem is equivalent to the spectral problem of the hydrodynamic matrix of evolution. The structure of hydrodynamic matrix, which follows from the symmetry properties of the system, was analysed. On this basis the generalization which allows to consider the hydrodynamics of a multicomponent mixture was proposed. By the means of matrix perturbation theory it was shown, that among the collective modes there exist two sound and m dissipative modes, where m is determined by the number of additive integrals of motion. The analytical expressions for the weight coefficients, which describe partial contributions of each mode to time correlation functions, constructed on the base of density operators of conserved quantities, were derived. On this base expressions for the dynamical structure factors were derived for the case of binary mixture of magnetic and nonmagnetic particles in the paramagnetic state.

Вступ

У зв'язку iз активним вивченням магнiтних рiдин [1,2], теоретичнi дослiдження спектрiв колективних збуджень, коефiцiєнтiв переносу та часових кореляційних функцій для статичних моделей сумішей магнітних та немагнітних частинок, становлять значний експериментальний та прикладний iнтерес. Особливе значення при цьому мають розрахунки коефіцієнтів переносу, динамічних структурних факторів (парціальних структурних факторів ``густина-густина'' і магнітного динамічного структурного фактора) та вивчення впливу на ці величини зовнішнього магнітного поля. Вивчення спектру колективних збуджень дає можливість аналізу особливостей поширення звукових, теплових, взаємодифузійних, спінових коливань, i дозволяє зрозумiти механiзм появи нових колективних процесів кінетичної природи. З точки зору експериментiв з розсiяння є актуальним дослiдження гiдродинамiчної границi ( ${\boldsymbol k}\to0$, $\omega\to0$, де <I>k та $\omega$ - хвильовий вектор та частота), та розрахунок вiдповiдних часових кореляцiйних функцiй. У роботах [3,4] була представлена статистична гідродинаміка суміші магнітних та немагнітних частинок у зовнішньому неоднорідному магнітному полі. Методом нерівноважного статистичного оператора [8,9] були отримані узагальнені рівняння гідродинаміки, придатні для опису як сильно, так і слабо нерівноважних станів. Зокрема, для опису слабо нерівноважних процесів знайдені лінеаризовані рівняння молекулярної гідродинаміки та рівняння для часових кореляційних функцій та проаналізовані вiдповiднi функцiї пам'ятi, якi повязані із узагальненими коефіцієнтами переносу в'язкості, теплопровідності, термов'язкості, спінової дифузії тощо. Метою даної роботи є використання отриманих ранiше результатiв [3,4,5] для вивчення гiдродинамiчної областi хвильових векторiв k та частот $\omega$. Зокрема, ми знайдемо спектр гiдродинамiчних збуджень та запропонуємо один із методів відшукання вагових коефіцієнтів для отримання аналітичних виразів для часових кореляційних функцій. Особливiсть пропонованого пiдходу полягає в тому, що усi викладки будуть проводитись для бiльш загального випадку багатокомпонентної сумiшi. Таким чином, отриманi результати мають бiльш широку область застосування.

Рівняння молекулярної гідродинаміки

Продовжуючи цикл робіт [6,7,5], де досліджувались гідродинамічнi процеси слабонерівноважних магнітних рідин i сумішей магнітних та немагнітних частинок, ми будемо розглядати рідку суміш магнітних та немагнітних частинок у гідродинамічному стані. Система описується гамільтоніаном типу [5] iз взаємодiєю мiж спiнами, типу Гайзенберга. Для дослiдження такої системи, можна, використовуючи метод нерiвноважного стастистичного оператора Зубарєва [8,9], отримати рiвняння молекулярної гiдродинамiки та рiвняння для часових кореляцiйних функцiй [6,7]. Для малих вiдхилень системи вiд положення рiвноваги, пiсля перетворення Лапласа, можемо записати рівняння узагальненої гідродинаміки у матричному вигляді [6]:

\begin{displaymath} \left\{\mbox{\rm i}\omega{\cdot}\tilde 1-\mbox{\rm i}\tilde... ...ega)\right\}\langle \Delta \hat Y_i(k)\rangle ^\omega=0. \end{displaymath}

(2.1)


Лаплас-зображення часових кореляційних функцій $\hat F(k,z)$ задовiльняють рівняння

\begin{displaymath} \left\{z{\cdot}\tilde1-\mbox{\rm i}\tilde\Omega(k)+\tilde\Phi(k,z)\right\}\,\tilde F(k,z)=\tilde F_0(k), \end{displaymath}

(2.2)


тут $\mbox{\rm i}\tilde\Omega(k)$ - частотна матpиця, $\tilde\Phi(k,z)$ - матpиця функцiй пам'ятi, визначенi наступним чином:

$\displaystyle \mbox{\rm i}\tilde\Omega(k)$

=

$\displaystyle (\mbox{\rm i}\hat L{\cdot}{\hat Y}(k),\hat Y(-k)) \ (\hat Y(k),\hat Y^+(-k))^{-1},$

(2.3)

$\displaystyle \tilde\Phi(k,z)$

=

$\displaystyle \left((1-{\cal P})\,\mbox{\rm i}\hat L{\cdot}\hat Y, \frac{1}{z+(... ...ox{\rm i}\hat L{\cdot}\hat Y^+\right) \left(\hat Y(k),\hat Y^+(-k)\right)^{-1},$

(2.4)


де $\mbox{\rm i}\hat L$ - оператор Лiувiля системи, ${\cal P}$ - проекційний оператор Морі, що діє за правилом:

\begin{displaymath} {\cal P}\cdot\tilde A=\left(\tilde A,\hat Y(-k)\right)\left(\hat Y(k),\hat Y^+(-k)\right)^{-1}\hat Y(k), \end{displaymath}

(2.5)


$(\hat A,\hat B)$ означає коpеляцiйну функцiю

\begin{displaymath} (\hat A,\hat B)=\int_0^1\langle \hat A\rho_0^\tau\hat B\rho_0^{-\tau}\rangle \,d\tau , \end{displaymath}

(2.6)


де $\langle \dots\rangle $ позначає засереднення за рiвноважним розподiлом Ґiббса $\rho_0$, а $\hat Y(k)$ - вектор-стовпець параметрiв скороченого опису системи. В якостi параметрiв скороченого опису беруть Фур'є компоненти густин консервативних змiнних. Для двокомпонентної сумiшi магнiтних та немагнiтних частинок [5], пiсля проведення процедури ортогоналiзацiї, вони записуються у виглядi:

\begin{displaymath} \hat Y(k) = \{ \hat n_1( k), {\hat n_2}(k), \hat p(k), \hat s(k), \hat h(k) \} , \end{displaymath}

(2.7)


i є вiдповiдно Фур'є компонентами парціальних густин числа немагнітних частинок (сорт 1) та магнітних частинок (сорт 2), повного iмпульсу, вiдпpоектованого магнiтного моменту та повної ентальпiї, i залежать вiд модуля хвильового вектора k. Матриця статичних кореляційних функцій $\tilde F_0(k) = \left(\hat Y_i(k),\hat Y^+_i(k)\right)$, що входить у праву сторону (2.2), для ортогоналiзованих параметрiв скороченого опису (2.7), має блокдіагональну структуру [5]. Використовуючи властивостi симетрiї кореляцiйних функцiй вiдносно iнверсiї часу та вiдносно операцiй просторової симетрiї, можна показати $\cite{MF2}$, що в системі, яка описується п'ятьма паpаметpами скоpоченого опису (2.7) i перебуває в однорідному зовнішньому магнітному полi, матриця $\mbox{\rm i}\tilde\Omega$ буде мати ``хрестоподібну'' структуру: ненульовими елементами будуть лише ті, які містять індекс, що відповідає імпульсу. Легко показати, що така ж структура матрицi $\mbox{\rm i}\tilde\Omega$ буде i в загальнiшому випадку багатокомпонентних сумiшей. Будемо розглядати загальнiший випадок m+2 параметрiв скороченого опису, де m=m1+m2. Тут m1 є кiлькiстю компонент рiдинної пiдсистеми (кiлькiсть сортiв частинок), якiй вiдповiдають параметри $\{\hat n_1(k),\dots,\hat n_{m_1}(k)\}$; m2 є кiлькiстю консервативних змiнних, що вiдносяться до спiнової пiдсистеми (ними можуть бути парцiальнi магнiтнi моменти рiзних сортiв магнiтних частинок $\{\hat s_1(k),\dots,\hat s_{m_2}(k)\}$ у випадку, якщо останнi комутують з гамiльтонiаном); ще двома параметрами є густина повного iмпульсу $\hat p(k)$ та ентальпiї $\hat h(k)$. Легко переконатись, що завдяки консервативностi параметрiв скороченого опису, частотна матриця (2.3) у гiдродинамiчному наближенні є лінійною по k:

\begin{displaymath} \mbox{\rm i}\tilde\Omega=\mbox{\rm i}k{\cdot}v_s{\cdot}\tilde\nu =\delta{\cdot}v_s{\cdot}\tilde\nu, \end{displaymath}

(2.8)


тодi як матриця функцій пам'яті є квадратичною:

\begin{displaymath} \tilde\Phi=-k^2{\cdot}v_s{\cdot}\tilde\varphi =\delta^2{\cdot}v_s{\cdot}\tilde\varphi , \end{displaymath}

(2.9)


Тут i надалi будемо користуватись позначенням $\delta\equiv \mbox{\rm i}k$ i вважати $\delta$ малим параметром. Квадратичний вклад по $\delta$ в частотну матрицю рівний нулю. Коефiцiєнт пропорцiйностi vs в (2.8, 2.9) вибраний наступним чином:

\begin{displaymath} v_s^2= {1\over2} \mathop{\mbox{\rm Sp}}\nolimits\,\left[\left({\mbox{\rm i}\tilde\Omega\over\delta}\right)^2\right], \end{displaymath}

(2.10)


звiдси випливає, що шпур квадрату матрицi $\tilde\nu$ рiвний 2:

\begin{displaymath} \mathop{\mbox{\rm Sp}}\nolimits\,\tilde\nu^2=2. \end{displaymath}

(2.11)


Вибраний таким чином, коефiцiєнт vs, як буде показано далi, дає нам швидкiсть поширення звукових хвиль в системi i його введення дозволяє працювати з обезрозмiреними матрицями $\tilde\nu$ та $\tilde\varphi $, що значно спрощує викладки. Використовуючи маркiвське наближення, яке є асимптотично точне в гiдродинамiчнiй областi, бачимо, що залежнiсть повної гідродинамічної матрицi $\tilde T_H\equiv \mbox{\rm i}\tilde\Omega-\tilde\Phi$ від z зникає. Тому, розглядаючи рівняння (2.1), (2.2) в гідродинамічному наближенні, для малих k i z, ми можемо обмежитися у рiвняннях (2.1), (2.2) розглядом гідродинамічної матрицi $\tilde T_\delta$:

\begin{displaymath} \tilde T_\delta(z)=\tilde\nu+\delta{\cdot}\tilde\varphi , \end{displaymath}

(2.12)


враховуючи, що:

\begin{displaymath} \tilde T_H= \mbox{\rm i}\tilde\Omega - \tilde\Phi= \delta{\cdot}v_s{\cdot}\tilde T_\delta. \end{displaymath}

(2.13)


Нехай в наборі m+2 параметрів скороченого опису імпульс має номер $\pi$ $(\hat Y_\pi(k)=\hat p(k))$, тоді, враховуючи зв'язок (2.8) та вищезгаданi властивостi симетрiї, $\tilde\nu$ для такої системи запишеться [5]:

\begin{displaymath} \tilde\nu=\left( \begin{array}{ccccccc} 0&\dots&0&\nu_{1,\... ... 0&\dots&0&\nu_{m+2,\pi}&0&\dots&0\\ \end{array}\right), \end{displaymath}

(2.14)


з тих самих мiркувань матриця $\tilde\varphi $ буде мати протилежну до $\tilde\nu$ структуру:

\begin{displaymath} \tilde\varphi =\left( \begin{array}{ccccccc} \varphi _{1,... ...2,\pi+1}&\dots &\varphi _{m+2,m+2}\\ \end{array}\right). \end{displaymath}

(2.15)


Легко переконатись, що для матрицi $\tilde\nu$ iз структурою (2.14) виконується властивiсть:

\begin{displaymath} \tilde\nu^3=\tilde\nu, \end{displaymath}

(2.16)


Спектр гідродинамічної матриці

Пошук розв'язкiв рівнянь (2.1) та (2.2) зводиться до знаходження системи власних значень {zi} гідродинамічного оператора $\tilde T_\delta$ (2.12), якi є пропорцiйними власним значенням {Zi} повного гідродинамічного оператора $\tilde T_H$ рiвняння (2.1) ( див. (2.13)):

\begin{displaymath} Z_i=\delta\,v_s{\cdot}z_i. \end{displaymath}

(3.1)


Власні значення zi можна шукати у вигляді ряду по $\delta$:

\begin{displaymath} z_i = \lambda_i + \delta{\cdot}{D}_i + \delta^2{\cdot}\gamma_i + \dots, \end{displaymath}

(3.2)


де квадратична поправка $\delta^2{\cdot}\gamma_i$ у (3.2) може бути знайдена лише при врахуваннi в гідродинамічнiй матрицi $\tilde T_\delta$ квадратичних по $\delta$ i вищих поправок, тому, використовуючи вирази (2.8) i (2.9), в остаточних результатах ми мусимо обмежитись лише нульовим i лiнiйним наближенням zi по $\delta$. Для знаходження $\lambda_i$ та Di маємо рiвняння:

$\displaystyle \det$

$\textstyle \tilde B(\lambda,D)$

=0,

(3.3)

$\textstyle \tilde B(\lambda,D)$

$\displaystyle \equiv\tilde\nu-\lambda+\delta{\cdot}(\tilde\varphi -D),$

(3.4)


де $\lambda$ та D - вiдповiднi дiагональнi матрицi. Нулi характеристичного полiнома $\det(\tilde\nu-\lambda)= (\lambda^2-\frac12\mathop{\mbox{\rm Sp}}\nolimits\,\tilde\nu^2)(-\lambda)^m$ матрицi $\tilde\nu$ дають нам три рiзнi розв'язки для власних значень (3.2) у нульовому наближеннi:

\begin{displaymath} \lambda_+\equiv\lambda_{m+1}=+1,\quad\lambda_-\equiv\lambda_{m+2}=-1, \quad\lambda_0\equiv\lambda_1=\dots=\lambda_m=0, \end{displaymath}

(3.5)


причому $\lambda_+$, $\lambda_-$ - простi, а $\lambda_0$ - m-кратно виродженi коренi. Власнi значення $\lambda_+$, $\lambda_-$ вiдповiдають власним значенням $\pm\delta\,v_s$ повного гiдродинамiчного оператора $\tilde T_H$ ( див (3.1)), тому $\lambda_+$, $\lambda_-$ описують пропагаторні моди і відповідають за поширення звуку в системі $\cite{MF2}$; $\lambda_0$ описують до дисипативнi моди, що відповідають за дифузійнi процеси. Для знаходження Di, розкладемо детермiнант матрицi $\tilde B(\lambda,D)$ (3.4) в ряд по $\delta$ з точнiстю до лiнiйних доданкiв:

$\displaystyle \det\tilde B(\lambda,D)$

=

$\displaystyle \det(\tilde\nu-\lambda)+ \delta\cdot\sum\limits _{i,j}(\varphi _{... ...\lambda,D)\over\partial (\delta{\cdot}\varphi _{ij})} \right\vert _{\delta=0} =$

(3.6)

=

$\displaystyle \det(\tilde\nu-\lambda)+\delta\cdot\sum\limits _{i,j}(\varphi _{ij}-D\delta_{ij}) A_{ij}(\lambda) =0,$


де $\delta_{ij}$ - символ Кронекера, $A_{ij}(\lambda)=\left.\mbox{Ad}_{ij} \!\left(\tilde B(\lambda,D)\right)\right\vert _{\delta=0}$ - алгебраїчне доповнення до елемента Bij матрицi $\tilde B$ при $\delta=0$. Легко бачити, що $\left.\tilde B(\lambda,D)\right\vert _{\delta=0} =\tilde\nu-\lambda$, i, як вiдомо iз загальної теорiї матриць [10]:

\begin{displaymath} A_{ij}(\lambda) = (\tilde\nu-\lambda)^{-1}_{ji}\cdot\det(\tilde\nu-\lambda). \end{displaymath}

(3.7)


Для матрицi $(\tilde\nu-\lambda)$ нескладно знайти обернену матрицю, i ми отримаємо:

\begin{displaymath} A_{ij}(\lambda)= (-\lambda)^{m-1}{\cdot} \big(\lambda^2-1+\lambda\tilde\nu+\lambda\tilde\nu^2\big)_{ji}. \end{displaymath}

(3.8)


Рiвняння (3.6) тепер запишеться у виглядi:

\begin{displaymath} \det\tilde B(\lambda,D)=\det(\tilde\nu-\lambda)+ (-\lamb... ...hi -D) (\lambda^2-1+\lambda\tilde\nu+\tilde\nu^2)\right]. \end{displaymath}

(3.9)


Пiдставляючи власне значення $\lambda=\lambda_\pm$, iз (3.9) отримаємо рiвняння для знаходження $D_\pm$:

\begin{displaymath} \mathop{\mbox{\rm Sp}}\nolimits\,\left[(\tilde\varphi -D_\pm) (\lambda_\pm^2-1+\lambda_\pm\tilde\nu+\tilde\nu^2)\right]=0. \end{displaymath}

(3.10)


Звiдси $D_\pm= {\left(\mathop{\mbox{\rm Sp}}\nolimits\,(\tilde\varphi \tilde\nu^2)\pm... ...\nolimits\,(\tilde\nu^2)\pm\mathop{\mbox{\rm Sp}}\nolimits\,(\tilde\nu)\right)}$, або ж, враховуючи, що $\mathop{\mbox{\rm Sp}}\nolimits\,(\tilde\varphi \tilde\nu)=\mathop{\mbox{\rm Sp}}\nolimits\,(\tilde\nu)=0$, остаточно маємо:

\begin{displaymath} D_*\equiv D_+=D_-={\mathop{\mbox{\rm Sp}}\nolimits\,(\tilde... ...\nu^2)\over\mathop{\mbox{\rm Sp}}\nolimits\,(\tilde\nu^2)}, \end{displaymath}

(3.11)


Розв'язки для дисипативних мод {Di, $i=1,\dots,m\}$ легше отримати безпосередньо iз рiвняння (3.3). При $\lambda=\lambda_0=0$ отримуємо:

\begin{displaymath} \det\tilde B(0,D)=\det\left(\tilde\nu+\delta{\cdot}(\tilde\varphi -D)\right)=0. \end{displaymath}

(3.12)


Розкладемо $\det\tilde B(0,D)$ по елементах $\pi$-ого рядка:

\begin{displaymath} \det\tilde B(0,D)= \sum\limits _{i(\neq\pi)}\nu_{\pi i}{\... ...i} + \delta{\cdot}(\varphi _{\pi\pi}-D){\cdot}A_{\pi\pi}. \end{displaymath}

(3.13)


Множник $A_{\pi i}=\mbox{Ad}_{\pi i}\tilde B(0,D)$ є алгебраїчним доповненням елемента $B_{\pi i}$ (який рiвний $\nu_{\pi i}$) матрицi $\tilde B(0,D)$, i є детермiнантом матрицi $\tilde B'$, розмiрностi (m+1) x (m+1), що утворюється з матрицi $\tilde B(0,D)$, розмiрностi (m+2) x (m+2), шляхом викреслювання $\pi$-го рядка та i-го стовпця. В матрицi $\tilde B'$ всi стовпцi, крiм $\pi$-го, пропорцiйнi до $\delta$, тому $\delta^m$ можна винести за межi детермiнанта:

\begin{displaymath}A_{\pi i}=\mbox{Ad}_{\pi i}(\tilde\nu + \delta\cdot(\tilde\va... ...ox{Ad}_{\pi i}(\tilde\nu + \tilde\varphi -D), \quad i\neq\pi,\end{displaymath}


крiм того, легко бачити, що $A_{\pi\pi} = \delta^{m+1} \cdot \mbox{Ad}_{\pi\pi}(\tilde\varphi -D) $, i ми можемо остаточно записати (3.13) у виглядi:

\begin{displaymath} \det\tilde B(0,D)= \delta^m\cdot \sum\limits _{i(\neq\pi)}... ...}-D){\cdot}\mbox{Ad}_{\pi\pi}\!\left(\tilde\varphi -D\right). \end{displaymath}

(3.14)


Коефiцiєнт при $\delta^m$ дає нам алгебраїчне рiвняння m-го порядку для знаходження m дифузійних коефіцієнтiв дисипативних мод, яке можна записати у компактнiй формi наступним чином:

\begin{displaymath} \det(\tilde\ae({D}))=0, \end{displaymath}

(3.15)


де

\begin{displaymath} \tilde\ae({D})=\left.(\tilde\nu+\tilde\varphi -{D}{\cdot}\tilde1)\right\vert _{ \ae_{\pi,\pi}({D})\equiv0}. \end{displaymath}

(3.16)


Зокрема для бiнарної системи iз параметрами скороченого опису (2.7) маємо:

\begin{displaymath} \tilde\ae({D})=\left(\begin{array}{ccccc} \varphi _{n_1,n_... ...arphi _{h,s}& \varphi _{h,h}-{D}\\ \end{array}\right). \end{displaymath}

(3.17)


Рівнянню (3.15) можна надати певну геометричну інтерпретацію. Для цього введемо матрицю $\tilde\theta$ розмірності (m+1) x (m+1), що утворюється з матриці $\tilde\varphi $ шляхом викреслення $\pi$-го стовпця і $\pi$-го рядка; (m+1) - вимірний вектор-стовпець

\begin{displaymath}\vec\nu=(\nu_{1,\pi};\nu_{2,\pi};\dots;\nu_{\pi-1,\pi};\nu_{\pi+1,\pi};\dots;\nu_{m+2,\pi})^т,\end{displaymath}


що являє собою $\pi$-й стовпець матриці $\tilde\nu$ (2.14) без елемента $\nu_{\pi,\pi}(=0)$; та (m+1) - вимірний вектор-рядок

\begin{displaymath}\vec\nu'=(\nu_{\pi,1};\dots;\nu_{\pi,\pi-1};\nu_{\pi,\pi+1};\dots;\nu_{\pi,m+2}), \end{displaymath}


що є набором ненульових компонент $\pi$-го рядка матриці $\tilde\nu$. Введемо x - залежний ``метричний тензор'': $\tilde g(x)=(\tilde\theta-x{\cdot}\tilde1)^{-1}$, тоді, розкладаючи $\det(\tilde\ae({D}))$ по елементах $\pi$- го стовпця і $\pi$-го рядка, можна довести, що формула (3.15) еквівалентна наступній:

\begin{displaymath} \vec\nu'{\cdot}\tilde g({D}){\cdot}\vec\nu=0. \end{displaymath}

(3.18)


Отже, задача зводиться до відшукання таких чисел {Di}, при яких, вектори $\vec\nu$ і $\vec\nu'$ є ортогональні відносно метрики, заданої ``тензором'' $\tilde g({D}_i)$. Тепер ми можемо записати власнi значення (3.2) гідродинамічної матрицi $\tilde T_\delta$ у виглядi:

 

$\displaystyle z_i=0+\delta{\cdot}{D}_i+\delta^2{\cdot}\gamma_i,\quad\quad i=1,\dots,m,$

(3.19)

 

$\displaystyle z_+\equiv z_{m+1}=1+\delta{\cdot}{D}_*+\delta^2{\cdot} \gamma_+,$

(3.20)

 

$\displaystyle z_-\equiv z_{m+2}=-1+\delta{\cdot}{D}_*+\delta^2{\cdot}\gamma_- ,$

(3.21)


де значення індекса $i=\{1,\dots,m\}$ відповідає дисипативним модам, i=m+1, m+2 - звуковим модам, D* задається рiвнянням (3.11), а Di - рiвнянням (3.15).

Кореляційні функції

Знаходження часових кореляційних функцій $\tilde F(k,z)$ (2.2) зводиться до відшукання матриці $\tilde M(z)=(z{\cdot}\tilde1-\tilde T_H(k))^{-1}$, що є функцією від гідродинамічного оператора, дійсно,

\begin{displaymath} \tilde F(k,z)=(z-\tilde T_H(k))^{-1}\tilde F_0(k)=\tilde M(z){\cdot}\tilde F_0(k). \end{displaymath}

(4.1)


В загальному випадку функція від матриці $\tilde A$, що має власнi значення {zi}, може бути записана (див [10]):

\begin{displaymath} f(\tilde A)=\sum\limits _{i=1}^{n}f(z_i)\,\tilde G^i, \end{displaymath}

(4.2)


коли матриця $\tilde A$ є матрицею простої структури. Величини $\tilde G^i$ у (4.2) - це так звані вагові коефіцієнти матриці $\tilde A$. Матриця $\tilde T_\delta$ для довільного $\delta$ є матрицею простої структури, адже при $\delta\neq0$ всі власні значення є різними (3.19) - (3.21), а при $\delta=0$ мінімальний анулюючий многочлен $\eta(x)=x(x-1)(x+1)$ матриці $\tilde\nu$ ( $=\lim\limits_{\delta\to0}\tilde T_\delta$) не містить кратних коренів, що є необхідною і достатньою умовою простоти. Те, що $\eta(x)$ є мінімальним анулюючим многочленом матриці $\tilde\nu$ (тобто $\eta(\tilde\nu)=0$), випливає з властивості (2.16). Таким чином, для $\tilde\nu$ і $\tilde T_\delta$ можна записати:

 

$\displaystyle f(\tilde\nu)=f(1)\,\tilde G_\nu^++f(-1)\,\tilde G_\nu^-+f(0)\, \tilde G_\nu^0 ,$

(4.3)

 

$\displaystyle f(\tilde T_\delta)=\sum\limits _{i=1}^{m+2}f(z_i)\,\tilde G_\delta^i.$

(4.4)


В границi $\delta\to0$ ваговi коефiцiєнти $\tilde G_\delta^i$ дають нам, як буде видно далi, m+2 рiзних вагових коефiцiєнтiв $\{\tilde g_0^i$, $i=1,\dots,m\}$, тому надалі ми будемо формально розрізняти матриці $\tilde\nu$ і $\tilde T_0=\lim\limits_{\delta\to 0}\tilde T_\delta$, адже їх системи вагових коефiцiєнтiв $\{\tilde G_\nu^\pm$, $\tilde G_\nu^0\}$ та $\{\tilde g_0^i$, $i=1,\dots,m\}$, вiдповiдно, не співпадають. Рівність (4.2) для матриці $\tilde T_\delta$ до другого порядку по параметру малості $\delta$ буде мати вигляд

\begin{displaymath} f(\tilde\nu+\delta\,\tilde\varphi )=\sum\limits _{i=1}^{m+2... ...i+\delta{\cdot}\tilde g_1^i+\delta^2{\cdot}\tilde g_2^i), \end{displaymath}

(4.5)


де $\tilde g_0^i$, $\tilde g_1^i$, $\tilde g_2^i$ - відповідно нульове, перше і друге наближення по $\delta$ вагових коефiцiєнтiв $\tilde G^i_\delta$ (4.4):

\begin{displaymath} \tilde G_\delta^i=\tilde g_0^i+\delta{\cdot}\tilde g_1^i+\delta^2{\cdot}\tilde g_2^i+\dots. \end{displaymath}

(4.6)


Ваговi коефiцiєнти $\tilde G^i_\delta$, як легко показати, володіють властивостями:

\begin{displaymath} \tilde G_\delta^i{\cdot}\tilde G_\delta^j=\tilde G_\delta^i{\cdot}\delta_{ij}, \end{displaymath}

(4.7)


де $\delta_{ij}$ - символ Квонеккера. Пiдставивши (4.6) в (4.7), отримаємо для наближеннь $\tilde g_0^i$, $\tilde g_1^i$, $\dots$ ланцюжок тотожностей:

 

$\displaystyle \tilde g_0^i{\cdot}\tilde g_0^j=\tilde g_0^i{\cdot}\delta_{ij},$

(4.8)

 

$\displaystyle \tilde g_0^i{\cdot}\tilde g_1^j + \tilde g_1^i{\cdot}\tilde g_0^j = \tilde g_1^i{\cdot}\delta_{ij}.$

(4.9)

 

$\displaystyle \dots\dots\dots$


Розклад лівої частини (4.5) в ряд по $\delta$ дасть:

\begin{displaymath} f(\tilde\nu+\delta\,\tilde\varphi )=\sum\limits _{k\geq0}\f... ...}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\{\tilde\nu^{k-2},\tilde\varphi ^2\}, \end{displaymath}

(4.10)


де

 

$\displaystyle \{\tilde\nu^s,\tilde\varphi \}\equiv\sum\limits _{k=0}^{s}\tilde\... ...phi +\tilde\nu^{s-1}\tilde\varphi \tilde\nu+\dots +\tilde\varphi \tilde\nu^{s},$

(4.11)

 

$\displaystyle \{\tilde\nu^s,\tilde\varphi ^2\}\equiv\sum\limits _{k=0}^{s}\sum\... ...l=0}^{s-k}\tilde\nu^k \tilde\varphi \tilde\nu^l\tilde\varphi \tilde\nu^{s-k-l}.$

(4.12)


Перший доданок у правій частині (4.10) можна записати як $f(\tilde\nu)$. Розклавши по $\delta$ обидві частини (4.5), і прирівнявши до 0 коефіцієнти при однакових степенях $\delta$, отримаємо 3 тотожності:

 

$\displaystyle f(\tilde\nu)=\sum\limits _{i=1}^{m+2}f(\lambda_i){\cdot}\tilde g_0^i,$

(4.13)

 

$\displaystyle \sum\limits _{k\geq1}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\{\tilde\nu^{k-1},\tild... ...eft[f(\lambda_i){\cdot}\tilde g_1^i+f'(\lambda_i)D_i{\cdot}\tilde g_0^i\right],$

(4.14)

 

$\displaystyle \sum\limits _{k\geq2}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\{\tilde\nu^{k-2},\tild... ...m+2}\bigg[ f(\lambda_i){\cdot}\tilde g_2^i+f'(\lambda_i)D_i{\cdot}\tilde g_1^i+$

 

$\displaystyle \phantom{\sum\limits _{k\geq2}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\{\tilde\nu^{k... ...mbda_i)\gamma_i+\frac{f''(\lambda_i)}{2!}D_i^2\right){\cdot}\tilde g_0^i\bigg].$

(4.15)


З усього попереднього видно, що обчислення кореляцiйних функцiй зводиться до знаходження вагових коефiцiєнтiв (4.6). Подальше вiдшукання вагових коефiцiєнтiв грунтується на аналiзi рiвнянь (4.15)-(4.15). Проаналізуємо (4.15). Оскiльки $\lambda_i$, приймає три значення $\lambda_\pm=\pm1$, $\lambda_0=0$, то рiвняння (4.15) можемо записати у вигляді:

\begin{displaymath} f(\tilde\nu)=f(1)\,\tilde g_0^++f(-1)\,\tilde g_0^-+f(0)\,\tilde P, \end{displaymath}

(4.16)


де

\begin{displaymath} \tilde P=\sum\limits _{i=1}^m\tilde g_0^i. \end{displaymath}

(4.17)


Розглянемо послідовно три функції f+(x)=x(x+1), f-(x)=x(x-1), f0(x)=(x-1)(x+1), кожна з яких занулює два доданки в правій частині (4.16). Цо дає нам можливість послідовно знайти вирази для $\tilde g_0^+$, $\tilde g_0^-$, $\tilde P$:

 

$\displaystyle \tilde g_0^+=\frac{\tilde\nu(\tilde\nu+1)}{2},\quad \tilde g_0^-=\frac{\tilde\nu(\tilde\nu-1)}2,$

(4.18)

 

$\displaystyle \tilde P=1-\tilde\nu^2.$

(4.19)


Порівнюючи (4.16) і (4.3) бачимо, що $\tilde g_0^+$, $\tilde g_0^-$, $\tilde P$ співпадають з $\tilde G_\nu^+$, $\tilde G_\nu^-$, $\tilde G_\nu^0$ відповідно. Формули (4.19), (4.17) дають нам нульове правило сум для дисипативних мод:

\begin{displaymath} \sum\limits _{i=1}^m\tilde g_0^i=1-\tilde\nu^2. \end{displaymath}

(4.20)


Таким чином, бачимо, що ваговий коефiцiєнт єдиної m-кpатно виpодженої дисипативної моди матриці $\tilde\nu$ рiвний сумi вагових коефiцiєнтiв m рiзних дисипативних мод матриці $\tilde T_0$. Зауважимо, що оператор $\tilde P$ має властивості проекційного оператора:

\begin{displaymath} \tilde P^2=\tilde P, \end{displaymath}

(4.21)


що випливає з властивості (2.16) матриці $\tilde\nu$. Тепер розглянемо рівність (4.15). Використовуючи властивість (2.16), легко спростити функції $\{\tilde\nu^{k},\tilde\varphi \}$. Відповідно для парних і непарних показників k знаходимо:

\begin{displaymath} \{\tilde\nu^{2s},\tilde\varphi \}=\{\tilde\nu^{2},\tilde\va... ...){{\cdot}} \tilde\nu\{\tilde\nu,\tilde\varphi \}\tilde\nu , \end{displaymath}

(4.22)


Перепишемо (4.15), відділивши ``звукові'' доданки від ``дисипативних'':

\begin{displaymath} \sum\limits _{k\geq1}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}\{\tilde\nu^{k-1}... ...ilde g_0^i+ D_*\sum\limits _{+,-}f'(\pm1)\tilde g_0^{\pm}. \end{displaymath}

(4.23)


При виборi f(x)=1 вiдразу отримуємо:

\begin{displaymath} \sum\limits _{i=1}^{m+2}\tilde g_1^i=0\quad\mbox{або}\quad\... ...ts _{i=1}^{m}\tilde g_1^i= -(\tilde g_1^++\tilde g_1^-). \end{displaymath}

(4.24)


Підставивши в (4.23) функцiю f(x)=x2p+1-x2s+1, де p,s>1, знаходимо:

\begin{displaymath} \tilde\nu\tilde\varphi \tilde\nu+\tilde\nu^2\tilde\varphi \... ...nu+\tilde\nu\tilde\varphi \tilde\nu^2=2D_*{\cdot}\tilde\nu, \end{displaymath}

(4.25)


що є певною додатковою тотожнiстю, якiй задовiльняють матpицi $\tilde\varphi $ та $\tilde\nu$. Розглянувши послідовно функції $f_1(x)=\frac{x^{2p}}{2p}-\frac{x^{2s}}{2s}$ та $f_2(x)=\frac{x^{2p+1}}{2p+1}-\frac{x^{2s+1}}{2s+1}$, iз рiвняння (4.23) отримуємо:

\begin{displaymath} \tilde g_1^+-\tilde g_1^-=\{\tilde\nu^2,\tilde\varphi \}-... ...e g_1^-=\{\tilde\nu,\tilde\varphi \}-2D_*{\cdot}\tilde\nu, \end{displaymath}

(4.26)


де враховано тотожності (4.25). З виразiв (4.26) слiдує, що:

\begin{displaymath} \tilde g_1^\pm=\frac12\left(\{\tilde\nu,\tilde\varphi \}-... ...de\nu^2, \tilde\varphi \}\mp3D_*{\cdot}\tilde\nu^2\right). \end{displaymath}

(4.27)


Вибравши f(x)=x, після нескладних перетворень, отримуємо:

\begin{displaymath} \sum\limits _{i=1}^m D_i\tilde g_0^i=\tilde P\tilde\varphi \tilde P. \end{displaymath}

(4.28)


Використовуючи тепер властивість (4.8), можемо показати, що $(\tilde P\tilde\varphi \tilde P)^n=\sum\limits _{i=1}^m D_i^n\tilde g_0^i$, або для бiльш загального випадку довільної функції F(x) такої, що F(0)=0, маємо:

\begin{displaymath} F(\tilde P\tilde\varphi \tilde P)=\sum\limits _{i=1}^m F(D_i)\tilde g_0^i. \end{displaymath}

(4.29)


Узагальнення (4.29) на випадок функції $F(0)\neq 0$ дає формула:

\begin{displaymath} \tilde P{\cdot}F(\tilde P\tilde\varphi \tilde P){\cdot}\tilde P=\sum\limits _{i=1}^m F(D_i)\tilde g_0^i. \end{displaymath}

(4.30)


Якщо у вираз (4.30) підставити функцію $F_k(x)=\prod\limits_{i=1(\neq k)}^m(D_i-x)$, отримаємо:

\begin{displaymath} \tilde g_0^k=\prod\limits_{i=1(\neq k)}^m\tilde P\frac{D_i-\tilde\varphi }{D_i-D_k}\tilde P. \end{displaymath}

(4.31)


Бачимо, що pозгляд рівності (4.15) дав нам можливість знайти $\tilde g_0^{\pm}$, з рiвняння (4.15) отриманi ваговi коефiцiєнти для дисипативних мод $\tilde g_0^i$, ${i=1,\dots,m}$, та $\tilde g_1^{\pm}$. Тому можна сподіватись, що рівність (4.15) дасть нам можливість знайти $\tilde g_1^i$, ${i=1,\dots,m}$. Проаналiзуємо рiвнiсть (4.15). Аналогічно до (4.22) спростимо функції $\{\tilde\nu^{k},\tilde\varphi ^2\}$:

 

$\displaystyle \{\tilde\nu^{2s},\tilde\varphi ^2\}=\{\tilde\nu^{2},\tilde\varphi... ...\varphi ^2\}\tilde\nu\right]+ 2D_*^2(s-1)(s-2)\tilde\nu^2, \mbox{\hspace*{1cm}}$

(4.32)

 

$\displaystyle \{\tilde\nu^{2s-1},\tilde\varphi ^2\}=\{\tilde\nu,\tilde\varphi ^... ...lde\nu\{\tilde\nu\tilde\varphi ^2\}\tilde\nu\right]+ 2D_*^2(s-1)(s-2)\tilde\nu.$

(4.33)


Підставляючи функції $f_1(x)=\frac{x^{2m}}{2m}-\frac{x^{2p}}{2p}$ та $f_2(x)=\frac{x^{2m+1}}{2m+1}-\frac{x^{2p+1}}{2p+1}$ у вираз (4.22), після нескладних перетворень отримаємо:

$\displaystyle \tilde g_2^++\tilde g_2^-$

=

$\displaystyle \{\tilde\nu^{2},\tilde\varphi ^2\}-2\left[2D_*\{\tilde\nu^{2}, \t... ...}+\tilde\nu^2\{\tilde\nu,\tilde\varphi ^2\}\tilde\nu\right]+12D_*^2\tilde\nu^2,$

(4.34)

$\displaystyle \tilde C\equiv\tilde g_2^+-\tilde g_2^-$

=

$\displaystyle \{\tilde\nu,\tilde\varphi ^2\}-\frac32 \left[2D_*\{\tilde\nu,\til... ...lde\nu\{\tilde\nu,\tilde\varphi ^2\}\tilde\nu\right] +\frac{15}2D_*^2\tilde\nu.$

(4.35)


Для знаходження $\tilde g_1^i$, нам потрібні будуть наступні рівності, які нескладно довести, використовуючи (4.25):

 

$\displaystyle \tilde g_0^+{\cdot}\tilde\varphi {\cdot}\tilde g_0^+=D_+{\cdot}\t... ...ad \tilde g_0^-{\cdot}\tilde\varphi {\cdot}\tilde g_0^-=D_-{\cdot}\tilde g_0^-,$

(4.36)

 

$\displaystyle \tilde g_0^j{\cdot}\tilde\varphi {\cdot}\tilde P=\hat P{\cdot}\tilde\varphi {\cdot}\tilde g_0^j= D_j{\cdot}\tilde g_0^j,$

(4.37)


де ми розрізняємо коефіцієнти дифузії для `+' і `-' звукових мод (див. (3.11)), що є необхідним для подальшого розгляду. Підставляючи f(x)=x в формулу (4.15), отримаєм:

\begin{displaymath} \sum\limits _{i=1}^{m+2}(D_i\tilde g_1^i+\gamma_i\tilde g_0^i)=-\tilde C, \end{displaymath}

(4.38)


де $\tilde C$ визначене в (4.35) Введемо оператори $\widehat Q_i$, що діють за правилом

\begin{displaymath} \widehat Q_i{\cdot}\tilde A=\sum\limits _{j=1(\neq i)}^{m+2... ...}\tilde A{\cdot}\tilde g_0^i\right),\quad i=1,\dots,m+2. \end{displaymath}

(4.39)


Подіявши оператором $\widehat Q_i$ на рівність (4.38), бачимо, що завдяки (4.8), другий доданок в лівій частині під символом сумування зникне. Тодi, використавши рівність (4.9), ми отримаємо:

\begin{displaymath} \widehat Q_i{\cdot}(-\tilde C)=\widehat Q_i{\cdot}\sum\limits _{j=1}^{m+2}D_j{\cdot}\tilde g_1^j=\tilde g_1^i. \end{displaymath}

(4.40)


Таким чином, для вагових коефiцiєнтiв $\tilde g_1^i$ маємо:

\begin{displaymath} \tilde g_1^i=\sum\limits _{j(\neq i)}^{m+2}\frac1{D_j-D_i}\... ...}\tilde C{\cdot}\tilde g_0^i\right),\quad i=1,\dots,m+2. \end{displaymath}

(4.41)


Бачимо, що розрізняти коефіцієнти дифузії D+, D- є необхідно для уникнення невизначеностей типу 0/0 при знаходженні матриць $\tilde g_1^\pm$. Використовуючи рівності (4.36), (4.37), легко показати, що:

 

$\displaystyle \tilde g_0^+{\cdot}\tilde B\tilde g_0^-=\frac12(D_--D_+)\, \tilde... ...{\cdot}\tilde B\tilde g_0^+=\frac12(D_--D_+)\, \tilde g_0^-\tilde\varphi g_0^+,$

(4.42)

 

$\displaystyle \tilde g_0^+{\cdot}\tilde B\tilde g_0^j=(D_j-D_+)\, \tilde g_0^+ ... ... g_0^j{\cdot}\tilde B\tilde g_0^+=(D_j-D_+)\, \tilde g_0^j \tilde\varphi g_0^+,$

(4.43)

 

$\displaystyle \tilde g_0^-{\cdot}\tilde B\tilde g_0^j=(D_--D_j)\, \tilde g_0^- ... ... g_0^j{\cdot}\tilde B\tilde g_0^-=(D_--D_j)\, \tilde g_0^j \tilde\varphi g_0^-,$

(4.44)

 

$\displaystyle \tilde g_0^j{\cdot}\tilde B\tilde g_0^k=\tilde g_0^j\tilde\varphi \tilde\nu\tilde\varphi \tilde g_0^k,$

(4.45)


де $j,k=1,\dots,m$. На основі цих співвідношень та формули (4.41) отримаємо: