УДК 548:537.611.44, 536.75

Часові кореляційні функції багатокомпонентної рідкої суміші магнітних та немагнітних частинок

© Бацевич О.Ф.¹, Мриглод І.М.², Рудавський Ю.К.¹, Токарчук М.В.²,
2000

¹ДУ “Львівська політехніка”, кафедра ВМ
²Інститут фізики конденсованих систем, відділ НЕП

Проаналiзовано структуру гiдродинамiчної матрицi сумiшi магнiтних та немагнiтних частинок і запропоновано узагальнення, що дає можливість вивчення гiдродинамiки багатокомпонентної сумiшi. Методом матричної теорiї збурень знайдені колективні моди, з яких 2 – звуковi, решта – дисипативні, де визначається числом аддитивних iнтегралiв руху. Знайденi аналiтичнi вирази для часових кореляцiйних функцiй системи і для випадку двокомпонентної сумiшi наведені вирази для динамiчних структурних факторiв.

The structure of hydrodynamic matrix of a mixture of magnetic and nonmagnetic particles was analyzed, and generalization which allows to consider the hydrodynamics of a multicomponent mixture was proposed. By the means of matrix perturbation theory the collective modes were found, two of which are sound and the rest – dissipative, where is determined by the number of additive integrals of motion. The analytical expressions for time correlation functions were derived and for the case of binary mixture expressions for the dynamical structure factors presented.

ВСТУП.

      У наш час магнітні рідини, суміші магнітних і немагнітних частинок у зовнішніх полях механічного або електромагнітного походження грають важливу роль у хімічних, електронних та інших сучасних технологіях. Це робить дослідження термодинамічних, структурних і динамічних властивостей рідкого магнетика надзвичайно цікавим і важливим. Більшість методів, запропонованих для вивчення магнітних рідин, базуються на феноменологічному підході (дивіться, наприклад, [1-3]). Строгий статистичний підхід для розгляду динамічних властивостей ідеальної Гайзенбергівської ферорідини був розвинений в [4,5]. Рівноважні властивості цієї моделі були розглянуті в роботі [6].

      Мета цієї роботи – дослідити гідродинамічну поведінку суміші магнітних і немагнітних часток. Починаючи з розгляду бінарної магнітної суміші, пропонується схема, яка дозволяє нам знайти також спектр збудження і часові кореляційні функції для більш загального випадку багатокомпонентної магнітної суміші.

ГІДРОДИНАМІЧНІ РІВНЯННЯ.

      Для розгляду гідродинаміки системи, спочатку необхідно визначити так звані параметри скороченого опису - змінні, середні значення яких найбільш адекватно характеризують систему. Параметри скороченого опису можуть бути вибрані як Фур’є перетворення мікроскопічних густин консервативних змінних. Для бінарної суміші маємо:

                  (1)

де , є парціальними густинами немагнітних (сорт 1) і магнітних (сорт 2) частинок, є густиною повного імпульсу, та пов'язані з густиною намагніченості та енергії, відповідно. У більш загальному випадку -компонентної суміші, у якій компоненти володіють магнітним моментом, ми маємо справу з параметрами скороченого опису: - парціальні густини числа частинок, - парціальні густини намагніченості, та - густина повного імпульсу та енергії.

Використовуючи підхід, оснований на методі нерівноважного статистичного оператора Зубарєва, рівняння гідродинаміки і рівняння для часових кореляційних функцій були отримані в [7]. Для малих відхилень від рівноваги ці рівняння можуть бути написані, як зазначено нижче:

                  (2)

                  (3)

де з означають відхилення гідродинамічних змінних (параметрів скороченого опису) від рівноважних значень , а , є, відповідно, Фур’є перетвореннями часових та статичних кореляційних функцій, - частотна матриця, - матриця функцій пам'яті.

      Важливо звернути увагу, що в гідродинамічній границі матриці і є пропорціональними до і , відповідно:

, ,                        (4)

де - швидкість звуку (див. далі). Крім того, для зазначеного вище набору параметрів скороченого опису вони мають хрестоподібну та антихрестоподібну структуру, [8]:

, ,                  (5)

де , -ва компонента відповідає імпульсу. У роботі [8], було знайдено вирази елементів частотної матриці через термодинамічні коефіцієнти; елементи матриці функцій пам’яті є коефіцієнтами переносу, які знаходяться за формулами типу Гріна-Кубо.

СПЕКТР КОЛЕКТИВНИХ МОД ТА ЧАСОВІ КОРЕЛЯЦІЙНІ ФУНКЦІЇ.

      З рівняння слідує рівняння для спектру збуджень:

                  .(6)

      Розв’язуючи це рівняння в загальному випадку, ми отримуємо дві звукові моди і дифузійних мод :

                  (7)

де і є швидкістю та коефіцієнтом загасання звуку. Коефіцієнти загасання всіх дифузійних мод , , можуть бути знайдені з алгебраїчного рівняння -го порядку [9]. Для випадку бінарної магнітної суміші , і коефіцієнти загасання , , можуть бути виражені через термодинамічні параметри і коефіцієнти переносу.

Часові кореляційні функції, задані рівнянням (2), можуть бути знайдені як:

,                  (8)

де - так звані вагові коефіцієнти. Тут верхній індекс ‘’ та ‘’ відноситься до звукових та дифузійних мод, відповідно; значення нижнього індекса ‘0’, ‘1’ нумерують порядок наближення вагового коефіцієнта по . Методом матричної теорії збурень нами були аналітично знайдені вагові коефіцієнти часових кореляційних функцій у гідродинамічному наближенні:

,                   (9)

, , ,                  (10)

для звукових та дифузійних мод, відповідно, де , .

      Розглядаючи, наприклад бінарну магнітну суміш, динамічний структурний фактор ‘’ для неї може бути записаний через термодинамічні параметри та коефіцієнти переносу, як зазначено нижче:

                  (11)

де і може бути отриманий з заміною . Тут , . , , є парціальний молярний об'єм, парціальна концентрація і хімічний потенціал сорту відповідно. є коефіцієнтами взаємодифузії між частками -го і -го сортів, - поздовжня в'язкість, - коефіцієнти термодифузії. , , - ізотермічна стисливість, ізобаричний коефіцієнт теплового розширення і коефіцієнт теплопровідності в ансамблі з постійним об'ємом, відповідно.

      Для простої рідини формули та дають добре відому в літературі формулу Ландау-Плачека для динамічного структурного фактора:

                  (12)

ВИСНОВКИ.

      Нами були розв’язані матричні рівняння гідродинаміки і в аналітичній формі для широкого класу багатокомпонентних рідин з параметрами скороченого опису, деякі компоненти в яких можуть володіти магнітним моментом. Спектр колективних мод був знайдений з рівняння , а рівняння дали вирази для часових кореляційних функцій. На основі знайдених виразів наводитяся парціальні динамічні структурні фактори бінарної суміші магнітної та немагнітної рідини.

      Важливо підкреслити, що вхідними змінними теорії є термодинамічні параметри і коефіцієнти переносу.

Література

1. Akhiezer I.A., Akhiezer I.T., Sov. Phys. Solid State, 1987. Vol. 29, P 48.
2. Hubbard J.B., Stiles P.J., Journal of Chemical Physics, 1986, Vol. 84, P 6955.
3. Ido Y., Tanahashi T., Journ. Phys. Soc. Japan, 1991, Vol 60, P 466.
4. Mryglod I.M., Tokarchuk M.V., Folk R. On the Hydrodynamic Theory of a Magnetic Liquid I. General Description. // Physica A.- 1995.- V.220.- P. 325-348.
5. Mryglod I.M., Folk R., On the Hydrodynamic Theory of a Magnetic Liquid II. Hydrodynamic Modes in the Heizenberg Fluid // Physica A.- 1996.- V.234.- P. 129-150.
6. Вакарчук І.О., Рудавський Ю.К., Понеділок Г.В., Теор. Матем. Фіз. 1984, т.58, №3, с. 445-460
7. Mryglod I.M., Cond. Matt. Phys. 1997. № 10 с.115.
8. Rudavskii Yu.K., Mryglod I.M., Tokarchuk M.V., Batsevych O.F., Preprint ICMP-98-29E.
9. Batsevych O.F., Rudavskii Yu.K., Mryglod I.M., Tokarchuk M.V., Preprint ICMP-99-14U.
10. Bhatia A.B., Tornton D.E., March N.H., Journ. Chem. Phys. 1974, Vol.4, p.97.