Журнал Фізичних Досліджень, н.3, 2000.

Механізм формування збуджень типу ''спінова хвиля'' у магнітних рідинах

І.М.Мриглод 1, С.О.Дубик2, Ю.К.Рудавський 2

Аннотація:

На прикладі гайзенбергівської моделі магнітної рідини досліджено механізм формування пропагаторних колективних збуджень типу ''спінова хвиля'' у високотемпературній фазі. Знайдено умови виникнення таких збуджень та їх прояву у поведінці магнітного динамічного структурного фактора. Отримані результати аналізуються у порівнянні із дослідженнями, що проводилися для твердотільних магнетиків.

Ключові слова: узагальнена гідродинаміка, магнітні рідини, спінові збудження.
PACS: 05.60.+w;51.10.+y;75.50.Mm

Вступ

Особливості переходу від дифузійної до хвильової динаміки у твердотiльних магнітних середовищах в парамагнітному стані ($T\!\!>\!\!T_c$) досліджувалися ще у 70-ті роки. Зокрема, в експериментах з EuO Мук спостерігав такий перехід при величині хвильового вектора порядку половини ширини зони Бріллюена [1]. Подібні експерименти проводилися i з ферромагнетиками Fe, Ni, MnSi [2,3]. У роботі Калашнікова [4] проведено обґрунтування зміни типу спінової динаміки, досліджено спектр i спінові кореляції для гайзенбергівської моделі кристалічного магнетика. Для пояснення появи спін-хвильового піку в парамагнітній фазі у спіновій динаміці EuO і EuS застосовувався також метод моментів [5]. Моделі магнітних рідин почали досліджувати порівняно недавно [6-12]. Стимулюючий вплив на ці дослідження був обумовлений висновками про можливість експериментального спостереження феромагнітної фази у рідкому стані [13-15]. Недавні експерименти по вивченню властивостей переохолодженого розплаву Co80Pd20 [16], як і результати комп'ютерного розрахунку фазових діаграм для гайзенбергівської моделі магнітної рідини [8,9,17], підтвердили цю можливість. Основним завданням даної роботи є вивчення можливості спостереження динамічного кросоверу від дифузійної до хвильової поведінки у магнітній рідині, що перебуває в парамагнітному стані. У попередніх наших дослідженнях розраховано спектр гідродинамічних колективних збуджень та отримано вирази для гідродинамічних часових кореляційних функцій (ЧКФ) для гайзенбергівської моделі магнітної рідини [10,11,12,18,19]. У даній роботі більш детально розглянемо динаміку магнітної підсистеми. При цьому використаємо формалізм узагальнених колективних мод [20], в рамках якого вдалося доволі просто описати явище виникнення колективних збуджень типу ``зсувна хвиля'' та з'ясувати особливості кросоверу від в'язкої до еластичної поведінки в простих рідинах [21,22]. У найпростішому двомодовому наближенні цей метод є ідейно близьким до підходу Калашнікова [4]. Основну увагу зосередимо на вивченні особливостей поведінки магнітної підсистеми з ростом хвильового вектора та прояву зміни дифузійної динаміки на спін-хвильовий режим у магнітному динамічному структурному факторі.

Модель та основні співвідношення

Всі обчислення проводяться для гайзенбергівської моделi магнітної рiдини з гамільтоніаном:

H = HL + HS,

(1)


де

\begin{displaymath} H_L = \sum^N_{f=1} \frac{p_f^2}{2m} + \frac12 \! \sum_{f\not=l} \! V(r_{fl}) \end{displaymath}

(2)


описує рідинну підсистему або ж трансляційні ступені вільності N частинок з потенціалом V(rfl), а

\begin{displaymath} H_S = - \frac12 \! \sum_{f\not=l} \! J(r_{fl}) {\bf S}_f{\bf S}_l - \mu h \sum^N_{f=1} S_f^z \end{displaymath}

(3)


характеризує магнітну підсистему (або ж орієнтаційні ступені вільності) як систему взаємодіючих спінів у постійному магнітному полі h, яке прикладене вздовж осі Oz. Взаємодія спінових моментів задається обмінним інтегралом J(rfl). Спінові змінні задовільняють комутаційним співвідношенням:

\begin{displaymath}[ S_i^\alpha , S_j^\beta ]= \delta_{ij} \varepsilon_{\alpha\beta\gamma} S_j^\gamma, \end{displaymath}

(4)


де індекси $\alpha,\beta,\gamma$ позначають просторові компоненти, а $\varepsilon_{\alpha\beta\gamma}$ - символ Леві-Чівіта, що рівний ${\scriptscriptstyle\pm}1$ для різних індексів $\alpha,\beta,\gamma$ і нулеві для інших випадків. Фур'є компонента повної густини магнітного моменту вводиться стандартним чином:

\begin{displaymath} \hat m_k = \sum^N_{f=1} S_f^z {\bf\rm e}^{i{\bf k}{\bf r}_f}. \end{displaymath}

(5)


Похідна по часу від мікроскопічних операторів може бути означена через дію оператора Ліувілля [11], зокрема, маємо:

\begin{displaymath} \hat{\dot m}_k = \frac i\hbar \left[ {\hat H} , \hat m_k ... ...J}_{m,L}(k) + {\bf J}_{m,S}(k) \right)=i{\bf k} {\bf J}_m. \end{displaymath}

(6)


Вирази для потоків ${\bf J}_{m,L}(k)$ і ${\bf J}_{m,S}(k)$ можна знайти в роботі [11]. Зауважимо, що границя $\,\displaystyle \lim_{k \rightarrow0}\hat{\dot m}_k\!\! = \!\!0\,$ реалізується завдяки закону збереження повного спіну, оскільки динамічна змінна $\hat m_{k=0}$ є адитивним інтегралом руху. Аналогічним чином можна означити і вищі похідні. Використовуючи метод нерівноважного статистичного оператора [23,24], неважко переконатися, що рівняння макродинаміки для довільного набору динамічних змінних $\{\hat Y_k\}$ можна записати у вигляді [10]:

\begin{displaymath} \left[ i\omega I - i\Omega(k) + \phi(k,i\omega) \right] \langle \Delta \hat Y_k \rangle^{\omega } = 0, \end{displaymath}

(7)


де

\begin{displaymath} i\Omega(k) = \left( i\hat L_{\!\scriptscriptstyle N}\!{\h... ...\hat Y_{\!-k} \right) {( \hat Y_k , \hat Y_{\!-k} )}^{-1} \end{displaymath}

(8)


- частотна матриця, а

\begin{displaymath} \phi(k,z) = \left( (1\!-\!\hat{\cal P}) i\hat L_{\!\scr... ...!-k} \right) {\left( \hat Y_k , \hat Y_{\!-k} \right)}^{-1} \end{displaymath}

(9)


- відповідна матриця функцій пам'яті. Подібну до рівняння (7) структуру матиме також рівняння для лаплас-зображень ${\tilde F}(k,z)$ рівноважних часових кореляційних функцій F(k,t),

\begin{displaymath} F(k,t) = \int^1_0 \!{\rm d}\tau \langle \Delta \hat Y... ...i\hat L_{\!\scriptscriptstyle N}t} \, \hat Y_{\!-k} \right) \end{displaymath}

(10)


а саме [11]:

\begin{displaymath} \left[ zI - i\Omega(k) + \phi(k,z) \right] {\tilde F}(k,z) = F(k), \end{displaymath}

(11)


де $F(k)\! =\! ( \hat Y_k , \hat Y_{\!-k} )$ - матриця статичних кореляційних функцій. Як видно з (11) спектр колективних збуджень отримується із рівняння:

\begin{displaymath} {\rm det}\left( zI - i\Omega(k) + \phi(k,z) \right) = 0. \end{displaymath}

(12)


У виразах (8)-(10) використано наступне означення для статичних кореляційних функцій:

\begin{displaymath} (\hat{\cal A},\hat{\cal B}) = \int_0^1 \! d\tau {\langle \... ...au \hat{\cal B}\rho_{\scriptscriptstyle 0}^{-\tau}\rangle}_0, \end{displaymath}

(13)


з якого для класичних систем маємо звичний результат $(\hat{\cal A},\hat{\cal B})\!=\!\langle \hat{\cal A},\hat{\cal B} \rangle$. Середні:

\begin{displaymath} {\langle \dots \rangle}_{\scriptscriptstyle 0} = {\rm Sp} ... ...) \rho_{\scriptscriptstyle 0}(\!x^{\scriptscriptstyle N}\!) \end{displaymath}

(14)


означені з рівноважним статистичним оператором $\rho_{\scriptscriptstyle 0}$. Величини

\begin{displaymath} \hat I_k = (1\!-\!\hat{\cal P})\, i\hat L_{\!\scriptscriptstyle N}\!{\hat Y}_k \end{displaymath}

(15)


у виразі для матриці функцій пам'яті (9) виступають як узагальнені потоки, де

\begin{displaymath} {\hat {\cal P}}\dots = \left( \dots , \hat Y_{\!-k} \right) {\left( \hat Y_k , \hat Y_{\!-k} \right)}^{-1} \hat Y_k \end{displaymath}

(16)


так званий проекційний оператор Морі. Вирази (8)-(12) складають математичну основу для наступного вивчення динаміки магнітної підсистеми у моделі (1), яке проводиться у подальших розділах.

Двомодове наближення

У попередніх роботах [11,12,18,19] спектр гідродинамічних збуджень і гідродинамічні часові кореляційні функції для моделі ізотропної гайзенбергівської рідини розраховувалися у формалізмі колективних мод. При цьому в якості параметрів скороченого опису вибиралися мікроскопічні густини консервативних величин, а саме густини числа частинок $\hat n_k$, імпульсу $\hat {\bf {\it p}}_k$, енергії $\hat{\varepsilon}_k$ i z-компоненти магнітного моменту ${\hat m}_k$. У гідродинамічній границі вдалося розрахувати частотну матрицю і матрицю функцій пам'яті і виразити їх через термодинамічні величини та коефіцієнти переносу, відповідно. В результаті отримано асимтотично точні вирази для ЧКФ і колективних мод в гідродинамічній границі. Проте, щоб врахувати більш швидкі кінетичні процеси, що відповідають за зміну типу динаміки обумовлену появою спін-хвильових збуджень, необхідно вийти за рамки гідродинамічного наближення. Перш за все максимально спростимо задачу. Відокремимо опис ``рідинної'' підсистеми та обмежимося розглядом динаміки у магнітній підсистемі. Це можна зробити з наступних міркувань: магнітострикційні ефекти, що відповідають за статичну взаємодію між підсистемами, є малі і при малих магнітних полях взаємними кореляціями можемо знехтувати. Врахування кінетичних процесів легко провести у рамках формалізму узагальнених колективних мод [20], розглядаючи розширений набір динамічних величин. У найпростішому нетривіальному випадку це можна зробити на просторі двох динамічних змінних - густини магнітного моменту $\hat m_k$ та її першої часової похідної $\hat{\dot m}_k$. Двомодове наближення дає можливість якісно врахувати швидкі процеси при розрахунку спектру колективних мод і часових кореляційних функцій та проаналізувати отримані результати при виході із гідродинамічного режиму. Для обчислення частотної матриці (8) використаємо симетрійні властивості кореляційних функцій:

\begin{displaymath} \left( {\cal A}_k , \dot {\cal B}_{-k} \right) = - \left( \dot {\cal A}_k , {\cal B}_{-k} \right), \end{displaymath}

(17)


що доводить рівність $\left(\dot{\cal A}_k,{\cal A}_{-k}\right)\!=\!0\,$. Таким чином, маємо:

\begin{displaymath} i \Omega_{mm}(k) = i \Omega_{\dot m \dot m}(k) = 0. \end{displaymath}

(18)


Недіагональні елементи матриці $i \hat\Omega(k)$ відмінні від нуля і для них знаходимо:

\begin{displaymath} i \Omega_{m \dot m}(k) = 1, \end{displaymath}

(19)


\begin{displaymath} i \Omega_{\dot m m}(k) = \frac{\left(\ddot m_k,m_{\!-k}... ...)} = \omega_2(k) = - k^2\omega_2^{\scriptscriptstyle 0}(k), \end{displaymath}

(20)


де величина $\omega_2^{\scriptscriptstyle 0}(k)=\left(\hat{\bf J}_m(k),\hat{\bf J}_m(-k)\right)\!/\!\left(m_k,m_{\!-k} \right)$ прямує до відмінного від нуля значення $\omega_2^{\scriptscriptstyle 0}$, коли $k \rightarrow 0$. При отриманні виразу (20) ми скористалися із рівності (6). Зауважимо, що функція $\omega_2(k)$ є фактично другим частотним моментом для ЧКФ Fmm(k,t), тобто:

\begin{displaymath} \omega_2(k) = \frac1{\left(m_k,m_{-k}\right)} \frac{\partial^2}{\partial t^2} F_{mm}\!(k,t)\vert _{t=0}. \end{displaymath}

(21)


Таким чином, у двомодовому наближенні частотна матриця матиме досить просту форму:

\begin{displaymath} i \Omega(k) = \left( \begin{array}{cc} 0 & \,\,1 \\ -k^2\omega_2^{\scriptscriptstyle 0} & \,\,0 \end{array} \right). \end{displaymath}

(22)


При розрахунку матриці функції пам'яті (9) скористаємось властивостями проекційного оператора ${\cal P}$, для якого у двомодовому наближенні виконуються такі співвідношення:

\begin{displaymath} \hat{\cal P} \hat m_k = \hat m_k, \qquad \hat{\cal P} \... ...at m_k = -k^2 \omega_2^{\scriptscriptstyle 0}(k)\,\hat m_k. \end{displaymath}

(23)


Використовуючи рівності (23) легко показати, що:

\begin{displaymath} \phi_{mm}(k,z)\! = \!\phi_{\dot mm}(k,z)\! = \!\phi_{m\dot m}(k,z) \equiv 0 \end{displaymath}

(24)


i, отже, маємо лише один відмінний від нуля матричний елемент:

\begin{displaymath} \tilde \phi_{\dot m \dot m}(k,z) = \left((1\!-\!\hat{\c... ...\left( \hat {\dot m}_k, \hat {\dot m}_{\!-k} \right)}^{\!-1}. \end{displaymath}

(25)


Із виразу (25), використовуючи рівності (6) і (23), легко переконатися, що у марківському наближенні маємо:

\begin{displaymath} \tilde\phi_{\dot m \dot m}(k,z) \simeq \tilde\phi_{\dot m \dot m}(k,0)\equiv \frac1{\tau_1(k)}, \end{displaymath}

(26)


де функція $1/\tau_1\!(k)$ прямує до відмінного від нуля значення $1/{\tau_1}$, коли $k\!\rightarrow\!0$. Зауважимо, що по аналогії із теорією простих рідин [22], $\tau_1$ може розглядатися як час релаксації Максвелла. Відповідно, в області малих та проміжних значень k для матриці функцій пам'яті знаходимо:

\begin{displaymath} \tilde\phi(k,z)\vert _{k\rightarrow 0} \simeq \left( \b... ...!\!}\diagup{}_{\displaystyle\!\! \tau_1} \end{array} \right). \end{displaymath}

(27)


Матрицю статичних кореляційних функцій $\hat F(k)$ можна записати у вигляді:

\begin{displaymath} \hat F(k) = \left(\begin{array}{cc} \displaystyle 1\, ... ...} \end{array}\right) \left(\hat m_k,\hat m_{\!-k}\right). \end{displaymath}

(28)


Тепер, використовуючи рівняння (12) та вирази (22) і (27), можемо перейти до дослідження спектру колективних збуджень.

Спектр колективних мод

З рівняння (12) знаходимо два розв'язки:

\begin{displaymath} z^{\pm}(k) = \frac1{2\tau_1} \pm \sqrt{\frac1{4\tau_1^2}-\omega_2^{\scriptscriptstyle 0} k^2}, \end{displaymath}

(29)


дійсні частини яких $\gamma_k^\pm={\rm Re}\,z^{\pm}(k)$ є коефіцієнтами згасання відповідних колективних мод, а уявні $\omega_k^\pm={\rm Im}\,z^{\pm}(k)$ - описують їх дисперсію. Як видно із виразу (29) особливою є точка:

\begin{displaymath} k_0 = \frac1{2\tau_1\sqrt\omega_2^{\scriptscriptstyle 0}}, \end{displaymath}

(30)


в якій обидва розв'язки співпадають $z^\pm_0={1}/{2\tau_1}$, а вираз під коренем рівний нулеві. Тому розглянемо окремо два випадки. Перший, коли $k\!\leqslant\!k_0$ і тоді маємо два чисто дійсні розв'язки:

\begin{displaymath} z^{\pm}\vert _{k\leqslant k_0} = \gamma^{\pm}_k \end{displaymath}

(31)


із коефіцієнтами згасання:

\begin{displaymath} \gamma^{\pm}_k = \frac1{2\tau_1} \pm \sqrt{ \frac1{4\tau_1^2} - \omega_2^{\scriptscriptstyle 0} k^2 }. \end{displaymath}

(32)


Це область чисто дифузійної динаміки ( $\omega_k^\pm\!=\!0$). При цьому у гідродинамічній границі ( $k\!\rightarrow\!0$) знаходимо, що:

\begin{displaymath} \gamma^+ _k= \frac1{\tau_1} - D k^2, \qquad \gamma^-_k = D k^2, \end{displaymath}

(33)


де $ D = \tau_1 \omega_2^{\scriptscriptstyle 0} $ - коефіцієнт спінової дифузії. Із (33) бачимо, що мода $\gamma_k^-$ описує спін-дифузійне збудження, яке добре відоме з гідродинамічного розгляду [11]. З ростом хвильового вектора в області $k \gtrsim k_0$, структура розв'язків (31) якісно змінюється. Тут отримуємо:

\begin{displaymath} z^{\pm}\vert _{k\geqslant k_0} = \gamma_k \pm i \omega_k, \end{displaymath}

(34)


де

\begin{displaymath} \omega_k = \sqrt{ \omega_2^{\scriptscriptstyle 0} k^2 - \frac1{4\tau_1^2} } \end{displaymath}

(35)


- частота нового пропагаторного збудження, а

\begin{displaymath} \gamma_k = \frac1{2\tau_1} \end{displaymath}

(36)


- коефіцієнт згасання. Зауважимо, що $\gamma_k$ стає меншим за частоту даного пропагаторного збудження ( $\,\,\Gamma_k\!\!=\!{\gamma_k\,}/{\omega_k}\!\!<\!\!1\,$) при $k\!\!>\!\!k_1$, де величина k1 визначається з умови:

\begin{displaymath} k_1 = \frac1{\tau_1\sqrt{2\omega_2^{\scriptscriptstyle 0}}}. \end{displaymath}

(37)


Якісно перебудова спектру колективних збуджень, про яку йшлося вище, показана на Рис.1. Найбільш важливим при цьому є висновок про виникнення при деякому фіксованому значенні $k\!=\!k_0$ збуджень пропагаторного типу (спінових хвиль), які мали б спостерігатися у поведінці часової кореляційної функції Fmm(k,t) при $k\!>\!k_1$.

Рис.1: Спектр колективних збуджень (якісна поведінка) та проекція ``спін-хвильового'' піку (штрихована лінія). Усі величини приведено у безрозмірній формі з $k_0={1}/{\left(2\tau_1\!{\scriptstyle\sqrt{\omega_2^0}}\right)}$ і $\omega _0={1}/{2\tau _1}$.

\begin{figure} \hspace{30mm} \epsfxsize =7cm\epsfysize =6cm \epsffile[175 517 426 708]{mode.eps} \end{figure}

Часові кореляційні функції

Вирази для часових кореляційних функцій, що описують динаміку ``магнітної'' підсистеми у двомодовому наближенні, отримуємо із розв'язку матричного рівняння (11), де частотна матриця $i\Omega(k)$ та матриця функцій пам'яті $\tilde \phi(k,z)$ вибираються у формі (22) і (27), відповідно. Неважко переконатися, що у такому випадку розв'язки для матриці часових кореляційних функцій $F(k,t) = \left( \hat Y_k(t), \hat Y_{-k}(t)\right)$ із $\hat Y_k = \{ \hat m_k, \hat {\dot m}_k \}$ матимуть наступний вигляд:

\begin{displaymath} \frac{F(k,t)}{\left(m_k,m_{-k}\right)} = \sum_\alpha {\cal G}^\alpha(k) {\bf\rm e}^{-z^\alpha(k)t}, \end{displaymath}

(38)


де ${\cal G}^\alpha(k)$ - матриця вагових коефіцієнтів, а індекс $\alpha=\{+,-\}$ нумерує власні значення $z^\pm(k)$. Для матриці ${\cal G}^\alpha(k)$ у двомодовому наближенні знаходимо:

\begin{displaymath} {\cal G}^{\scriptscriptstyle\pm}(k) = \mp\frac1{z^{\scr... ...(k) z^{\scriptscriptstyle\pm}\!(k)\, \end{array} \right], \end{displaymath}

(39)


де $d(k) = z^+\!(k)z^-\!(k) = \omega_2^{\scriptscriptstyle 0} k^2$. Із виразів (38) і (39) легко переконатися, що отриманий розв'язок для функції $F_{mm}\!(k,t)$ задовільняє правилам сум до другого порядку включно, а для перехресних функцій $F_{\dot mm}\!(k,t)$ і $F_{m\dot m}\!(k,t)$ виконується точне співвідношення $F_{\dot mm}\!(k,t)=-F_{m\dot m}\!(k,t)$. Більш загальні співвідношення для елементів матриці F(k,t) випливають із рівностей:

\begin{displaymath} \begin{array}{c} {\cal G}_{m\dot m}^\pm = -{\cal G}_{\d... ...\dot mm}^\pm = -{[z^\pm]}^2{\cal G}_{mm}^\pm, \end{array} \end{displaymath}

(40)


із яких слідує, що для наближених розв'язків $F_{mm}\!(k,t)$ і $F_{\dot m\dot m}\!(k,t)$ виконується рівність ${\scriptstyle{}^{\displaystyle d^2\!\!\!}\diagup{}_{\displaystyle\!\! dt^2}}F_{mm}\!(k,t)\! =\! - F_{\dot m\dot m}\!(k,t)$, якій задовільняють точні часові кореляційні функції. Із виразів (38) і (39) для магнітного динамічного структурного фактора

\begin{displaymath} S_m\!(k,\omega) = \frac1\pi {\rm Re}\, \tilde F_{mm}\!(k,i\omega), \end{displaymath}

(41)


де $\tilde F_{mm}\!(k,z)$ - лаплас-зображення функції Fmm(k,t), знаходимо вираз:

\begin{displaymath} \frac{S_m\!(k,\omega)}{S_m\!(k)} = \frac1\pi \frac{\tau... ...ega_2^{\scriptscriptstyle 0} - \omega^2\right)^2+\omega^2}. \end{displaymath}

(42)


Або в іншому представленні (з виділенням вкладів від окремих мод) маємо:

\begin{displaymath} \displaystyle\frac{S_m\!(k,\omega)}{S_m\!(k)}\vert _{k \le... ...^2+\left(\gamma_k^{\scriptscriptstyle -}\right)^2 } \right) \end{displaymath}

(43)


і

\begin{displaymath} \displaystyle\frac{S_m\!(k,\omega)}{S_m\!(k)}\vert _{k \g... ...2\omega_k}{\left(\omega-\omega_k\right)^2+\gamma_k^2}\right). \end{displaymath}

(44)


При цьому видно, що при значеннях $k\!\rightarrow\!0$ основний вклад дає лише мода $z^{\scriptscriptstyle-}\!(k)$, а збудження $z^{\scriptscriptstyle+}\!(k)$ починає проявляється при $k\backsimeq k_0$. Відповідні вагові коефіцієнти в області малих k можна записати наступним чином:

\begin{displaymath} \begin{array}{c} {\cal G}^{\scriptscriptstyle +}(k)\vert... ... 1+\tau_1^2\omega_2^{\scriptscriptstyle 0}k^2. \end{array} \end{displaymath}

(45)


Цей факт та співвідношення (40) приводять до висновку, що у гідродинамічній області найбільш суттєвими є вклади до часової кореляційної функції Fmm(k,t). Функція $F_{\dot m\dot m}\!(k,t)$ у цій області є пропорційною до k2. Динамічний перехід від дифузійної до хвильової динаміки повинен спостерігатися у поведінці нормованого магнітного динамічного структурного фактора $S_m\!(k,\omega)$. На рисунку 2 схематично показано характер залежності нормованої функції $S_m(k,\omega)/S_m(k)$ від значення хвильового вектора k та частоти $\omega $. При цьому бачимо (див. рис.2a), що спін-хвильові збудження проявляються у функції $S_m(k,\omega)$ у вигляді характерних хребтів. Положення бокових максимумів $\omega=\omega_R(k)$ функції $S_m(k,\omega)$ при $k={\rm const}$ (див. рис.2b) легко знайти використавши вираз (42). Очевидно, що їх локалізація:

\begin{displaymath} \omega_R(k) =\pm\sqrt{k^2\omega_2^{\scriptscriptstyle 0} - \frac1{2\tau_1^2}}. \end{displaymath}

(46)


не співпадатиме із дисперсійною кривою для спін-хвильових мод $\omega_k$ (див. рис.1). Ця обставина є суттєвою для розуміння відмінностей між інтуїтивним означенням колективних збуджень через положення максимумів певної функції відгуку та загальноприйнятим у статистичній фізиці означенням колективних мод через полюси відповідних функцій Гріна. Неважко переконатися із виразу (46), що максимуми функції $S_m(k,\omega)$ можуть спостерігатися лише починаючи із k=k1 (див. (37)), хоча спінові хвилі виникають уже при $k=k_0=k_1/\sqrt{2}$.

Рис.2: Якісна поведінка нормованого магнітного структурного фактора $S_m\!(k,\omega)/S_m\!(k)$: (a) в залежності від k та $\omega $; (b) при фіксованих значеннях k.

\begin{figure} \mbox{ {\epsfxsize =7cm\epsfysize =6cm \epsffile[111 348 322... ...7cm\epsfysize =6cm \epsffile[325 346 536 536]{smm_kfix.eps}}} \end{figure}

Висновки

Запропонований підхід ілюструє явище зміни дифузійної динаміки на хвильову для магнітних рідин. Досліджено два режими динамічної поведінки системи із ростом хвильового вектора і вивчено прояв цих особливостей у часових кореляційних функціях. Отримано умови виникнення спін-хвильових збуджень (30) та їх спостереження (37) у поведінці магнітного динамічного структурного фактора. Зауважимо, що в твердих тілах це явище спостерігається далеко не завжди, що пов'язано насамперед з обмеженням значень хвильового вектора k шириною зони Бріллюена. Представлені тут результати про появу спін-хвильового піку у магнітному стуктурному факторі можна використати в експериментах по розсіянню. Загалом, поява спін-хвильових колективних збуджень видається загальною рисою середовищ із гайзенбергівською взаємодією між спінами окремих частинок.


Література

1. H.A. Mook, Phys. Rev. Letters, 46, 7, 508-511 (1981).

2. Y. Ishikava, Y. Noda, C. Fincher, G. Shirane, Phys. Rev., B25, 1, 254-263 (1982).

3. Y.I. Uemura, G. Shirane, O. Steinsvoll, J. Wicksted, Phys. Rev. Letters, 51, 25, 2322-2325 (1983).

4. В.П. Калашников, С.В. Третьяков, Физ. мет. и металл., 59, 6, 1075-1084 (1985).

5. A.P. Young and B.S. Shastry, J. Phys. C: Solid State Phys., 15, 4547-4557 (1982).

6. I.A. Vakarchuk, Yu.K. Rudavskii, and G.V.Ponedilok, Theor. Math. Phys. 58, 291 (1984).

7. I.A. Akhiezer, I.T. Akhiezer, Sov. Phys. Solid State, 29, 48 (1987).

8. E. Lomba, J.J. Weis, N.G. Almarza, F. Bresme, G. Stell, Phys. Rev. E, 49, 6, 5169-5178 (1994).

9. J.M. Tavares, M.M. Telo de Gama, P.I.C. Teixtera, J.J. Weis, M.J.P. Nijmeier, Phys. Rev. E, 52, 2, 1915-1929 (1995).

10. I.M. Mryglod, M.V. Tokarchyk, and R.Folk, Physica A, 220, 325-348 (1995).

11. I.M. Mryglod, R.Folk, Physica A, 234, 129-150 (1996).

12. I.M. Mryglod, R.Folk, S.O. Dubyk and Yu.K. Rudavskii, Physica A, 277, 389-404 (2000).

13. K.Handrich, S.Kobe, Amorphe Ferro- und Ferrimagnetika, (Akademika-Verlag, Berlin, 1980).

14. G.Busch, H.J.Guentherodt, Phys. Lett. A, 27, 2, 110-112 (1968).

15. T.R.Kalaf, T.M.Wu, Phys. Rev. B, 18, 1, 448-452 (1978).

16. T.Albrecht, C.Buhrer, M.Fahnle, K.Maier, D.Platzek and J.Reske, Appl. Phys. A: Mater. Sci. Process., 65, 215 (1997).

17. M. Takahashi, J. Phys. Soc. of Jap., 52, 10, 3592-3611 (1983).

18. I.M. Mryglod, Yu.K. Rudavskii, S.O. Dubyk, and M.V. Tokarchuk, Preprint ICMP-98-31U (National Academy of Sciences of Ukraine, Inst. for Cond. Matt. Phys., 1998).

19. I.M.Mryglod, R.Folk, S.Dubyk and Yu.Rudavskii, Cond. Matt. Phys., 2, 2(18), 221-226 (1999).

20. I.M.Mryglod, Cond. Matt. Phys., 1, 4(16) (1998).

21. I.M. Mryglod, I.P. Omelyan, Mol. Phys., 91, 6, 1005-1015 (1998).

22. J.P.Boon, S.Yip, Molecular hydrodynamics. (New-York, McGraw-Hill Inc., 1980).

23. D.N. Zubarev, Nonequilibrium statistical thermodynamics, (Nauka, Moscow, 1971).

24. D.N. Zubarev, Modern methods of the statistical theory of nonequilibrium processes.- In: Itogy Nauki i Tekhniki, Sovr. Prob. Mat./ VINITI, 15, 131-226 (1980) (in Russian).

MECHANISM OF FORMATION OF SPIN-WAVE-LIKE EXCITATIONS IN A MAGNETIC LIQUID
I.Mryglod

Institute for Condensed Matter Physics,
National Academy of Scienses of Ukraine, UA-79011 Lviv, Ukraine,

S.Dubyk, Yu.Rudavskii

State University ``Lvivska Politekhnika'',
12 Bandera St, UA-79013 Lviv, Ukraine

A mechanism of formation of propagating spin-wave-like collective excitations in high-temperature phase is studied on an example of the Heisenberg model of a magnetic liquid. The conditions for appearance and observation of such excitations in the behaviour of magnetic dynamic structural factor are found. The obtained results are analysed in comparison with ones found for solid magnets.

Механізм формування збуджень типу ''спінова хвиля'' у магнітних рідинах

Footnotes:

1 Інститут фізики конденсованих систем НАН України, 79011, Україна, Львів, вул. Свенціцького 1.

3 ДУ "Львівська Політехніка", 79013, Україна, Львів, вул. С.Бандери 12.

This document was generated using the LaTeX2HTML translator Version 2K.1beta (1.49)
The translation was initiated by root on 2001-08-13

записки.