`Міністерство освіти України, Державний університет “Львівська політехніка”
Кафедра вищої математики
1998 р.

	Робоча програма		з вищої математики (Диференціальні рівняння)
			для базового напрямку № 6.0917 "Харчова технологія та інженерія" Факультет технології органічних речовин

Коли читається: 1 курс, 1 семестр.

Скільки годин: 119(всього) = 51(лекцій) + 34(практичних занять) + 34(самостійна робота) год.

Звітність: екзамен у першому семестрах

Зміст:

# 1. Мета та завдання дисципліни, її місце у навчальному процесі.
# 1.1. Мета викладання дисципліни.
# 1.2. Завдання вивчення дисципліни.
# 1.3. Перелік дисциплін, знання яких необхідне для вивчення курсу.
# 2. Зміст дисципліни.
# 2.1. Лекції.
# 2.2. Практичні заняття.
# 2.3. Самостійна робота.
# Теми індивідуальних графічно-розрахункових робіт.
# 3. Навчально-методична література.
# 3.1. Література до теоретичного курсу.
# 3.2. Література до практичних занять.
# 3.3. Методична література.

1. Мета та завдання дисципліни, її місце у навчальному процесі.

1.1. Мета викладання дисципліни.

• Лінійна алгебра, аналітична геометрія та математичний аналіз є основою базової математичної освіти інженера-економіста. Матеріал цих дисциплін ши-роко використовується при вивченні інших математичних предметів- теорії ди-ференціальних рівнянь, теорії імовірності та математичної статистики, мате-матичного програмування. Крім того, викладання спеціальних курсів з мікро-економіки, теорії фінансів, економічної кібернетики і теорії управління вима-гають грунтовного знання матеріалу, передбаченого цією програмою.

1.2. Завдання вивчення дисципліни.

• Основним завданням курсу лінійної алгебри є грунтовне вивчення алгебри матриць, теорії лінійних алгебраїчних рівнянь, які лежать в основі опису багатьох природніх явищ, економічних моделей, теорії керування, програму-вання тощо. Крім того, студенти знайомляться з загальною теорією лінійних просторів, що забезпечить розширення світогляду та формування у студентів математичної культури.
• При вивченні тем аналітичної геометрії основне завдання полягає у актив-ному засвоєнні методів векторної алгебри, формуванні цілісного уявлення про геометричні об'єкти - прямі, площини, еліпси, гіперболи, параболи, деякі поверхні. Важливим при вивченні аналітичної геометрії є активне опанування аналітичних методів опису і дослідження різних геометричних об'єктів у двох і трьохвимірному просторі.
• Основним завданням у процесі вивчення математичного аналізу є здобуття практичних навичок знаходження похідних та частинних похідних від функцій однієї та багатьох змінних, грунтовне опанування методів дослідження функцій.
• Важливим завданням курсу є також вивчення основ інтегрального числення , методів інтегрування простих функцій.

1.3. Перелік дисциплін, знання яких необхідне для вивчення курсу.

• Для вивчення лінійної алгеби, аналітичної геометрії та основ матема-тичного аналізу в межах даної програми необхідні лише грунтовні знання елементарної математики, що вивчається у середніх навчальних закладах.

2. Зміст дисципліни 

Лінійна алгебра , аналітична геометрія та математичний аналіз.

2.1. Лекції – 51 годин

№	Назви тем та розділів	Години
	Перший модуль
1	Матриці. Види матриць. Алгебраїчні дії над матрицями. Визначники матриць другого , третього та n - ого порядку . Властивості визначників. Обчислення визначників матриць довільного порядку. Обернена матриця. Розрахунок оберненої матриці. Ранг матриці. Базовий мінор. Матричні рівняння.	2 год.
2	Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Однорідні та не однорідні системи рівнянь. Сумісність систем алгебраїчних рівнянь. Теорема Кронеккера - Каппелі. Структура загального розв"язку системи m рівнянь з n невідомими. Формули Крамера. Метод Гауса. Матричний метод розв"язування систем лінійних алгебраїчних рівнянь.	2 год.
3.	Вектори . Лінійні операції над векторами. Лінійна залежність векторів. Поняття базису. Системи координат на прямій, площині і просторі. Розклад вектора за базисом.	2 год.
4.	Скалярний та векторний добутки двох векторів і їх властивості. Геометрична і фізична інтерпретація скалярного і векторного добутку. Змішаний добуток векторів. Умова компланарності трьох векторів.	2 год.
5.	Загальне поняття про векторні лінійні простори. Лінійно неза-лежні системи векторів. Ортогональні базиси. Розклад вектора за базисом. Перехід від одного базису до іншого. Лінійні перет-ворення декартових координат. Композиція перетворень.	2 год.
6.	Власні вектори і власні числа квадратних матриць. Методи їх знаходження. Діагоналізація симетричних матриць. Ортого-нальні матриці.	2 год.
7.	Квадратичні форми. Приведення квадратичних форм до діаго-нального виду. Умови знаковизначеності квадратичних форм. Критерій Сільвестра. Застосування квадратичних форм у еко-номічних задачах.	2 год.
8.	Рівняння ліній на площині. Рівняння поверхні і лінії у просторі. Класифікація ліній і поверхонь. Лінії першого порядку на площині і в просторі. Різні форми рівнянь ліній і площин першого порядку у двох і трьохвимірних просторах. Основні задачі про прямі лінії і площини. Застосування в економічних задачах.	3 год.
9.	Лінії другого порядку на площині, їх канонічні форми. Коло, еліпс, гіпербола, парабола. Асимптоти, директриси, ексцентри-ситет, фокуси. Приведення загального рівняння ліній другого порядку до канонічної форми.	4 год.
	Другий модуль
10.	Множина дійсних чисел . Числова послідовність, арифметичні дії над послідовностями. Границя послідовності. Нескінченно малі і нескінченно великі величини. Збіжні послідовності та їх основні властивості.	2 год.
11.	Функції. Область визначення та область значень функції. Спо-соби задання функцій. Основні елементарні функції і їх влас-тивості.Границя функції у точці. Односторонні границі. Основ-ні теореми про границі. Розкриття неозначеностей. Перша і друга особливі границі.	2 год.
12	Неперервність функції в точці і на проміжку. Властивості непе-рервних функцій. Неперервність основних елементарних функ-цій. Точки розриву функцій та їх класифікація.	2 год.
13.	Задачі, що приводять до поняття похідної. Означення похідної, її геометричний і фізичний зміст. Похідні елементарних функ-цій. Залежність між неперервністю і диференційованістю фун-кції. Властивості похідної. Правила диференціювання. Похідні вищих порядків.	2 год.
14.	Складна функція та похідна від складної функції. Обернена функція, похідна від оберненої функції. Функція, задана пара-метрично і її похідна. Похідна неявно заданої функції.	2 год.
15.	Означення диференціала функції. Правила знаходження дифе-ренціала. Диференціал складної функції. Інваріантність форм диференціала. Застосування диференціала до наближених об-числень. Поняття про диференціал вищого порядку.	2 год.
16.	Основні теореми диференціального числення. Теорема Ролля, Лагранжа, Коші. Розкриття неозначеностей. Правило Лопіталя. Формула Тейлора та її застосування.	2 год.
17.	Дослідження функцій. Інтервали зростання і спадання функції. Опуклість, угнутість функцій. Екстремуми, асимптоти. Точки перегину функцій. Побудова графіків функцій.	2 год.
18.	Функції декількох змінних. Границя функції і неперервність. Графічне зображення функції декількох змінних. Частинні по-хідні функції. повний диференціал і його властивості. геомет-ричний зміст диференціала.	2 год.
19.	Похідна за напрямком. Градієнт функції декількох змінних. Ек-стремум функції. необхідні і достатні умови існування екстре-муму. Умовний екстремум. Метод множників Лагранжа. Метод найменших квадратів	4 год.
20.	Первісна функція. Невизначений інтеграл и його властивості. Таблиця невизначених інтегралів. Методи безпосереднього інтегрування. Інтегрування методом заміни змінних . Інтегру-вання частинами.	2 год.
21.	Інтегрування раціональних дробів. Інтегрування функцій, що містять тригонометричні вирази. Інтегрування ірраціональних виразів.	2 год.
22.	Визначений інтеграл і його властивості. Площа криволінійної трапеції. Формула Ньютона-Лейбніца. Інтегрування по час-тинах і методом підстановки. Наближене обчислення визначе-ного інтеграла.	2 год.
23.	Геометричне застосування визначених інтегралів: обчислення площ фігур, об'ємів тіл обертання, довжин дуг	2 год.
24.	Невластиві інтеграли першого і другого роду. Ознаки збіжності. Поняття про подвійний інтеграл. зведення подвійного інтеграла до повторного.	2 год.

2.2. Практичні заняття – 34 годин.

№	Назви тем та розділів		Години
	Перший модуль
1.	Матриці. Види матриць. Алгебраїчні дії над матрицями. Визначники матриць другого , третього та n - ого порядку . Властивості визначників. Обчислення визначників матриць довільного порядку різними методами. Обернена матриця. Розрахунок оберненої матриці. Визначення рангу матриці. Розв"язування матричних рівняннь.		3 год.
2.	Системи лінійних алгебраїчних рівнянь. Однорідні та не однорідні системи рівнянь. Дослідження систем алгебраїчних рівнянь на сумісність. Теорема Кронеккера - Каппелі. Розв"язування системи m рівнянь з n невідомими. Застосування формул Крамера. Метод Гауса. Матричний метод розв"язуван-ня систем лінійних алгебраїчних рівнянь.		2 год.
3.	Лінійні операції над векторами. Розв"язування задач на скаляр-ний та векторний добутки двох векторів. Геометрична і фізична інтерпретація скалярного і векторного добутку. Змішаний добуток векторів. Умова компланарності трьох векторів.		2 год.
4.	Вивчення різних прикладів лінійних векторних просторів Лінійно незалежні системи векторів. Ортогональні базиси. Розклад вектора за базисом. Перехід від одного базису до іншого. Приклади лінійних перетворення декартових коорди-нат. Композиція перетворень.		3 год.
5.	Розв"язування задач на пошук власних векторів і власних чисел квадратних матриць. Діагоналізація симетричних матриць.		2 год.
6.	Приведення квадратичних форм до діагонального виду. Умови знаковизначеності квадратичних форм. Застосування критерію Сільвестра до дослідження квадратичних форм.		2 год.
7.	Розв"язування задач на лінії і площини першого порядку. Рівняння поверхні і лінії у просторі. Застосування різних форм рівнянь ліній і площин першого порядку у двох і трьохвимір-них просторах. Основні задачі про прямі лінії і площини. .		2 год.
8.	Лінії другого порядку на площині, їх канонічні форми. Задачі про коло, еліпс, гіперболу, параболу. Приведення загального рівняння ліній другого порядку до канонічної форми.		2 год.
	Другий модуль
9.	Послідовності та їх властивості. Границі функцій. Неперер-вність функції. Точки розриву та їх класифікація.		2 год.
10.	Розрахунок похідних елементарних функцій. Похідні складних і обернених функцій. Похідні функцій, заданих параметрично.		2 год.
11.	Дослідження функцій за допомогою похідної. Побудова графі-ків функцій. Розв"язування задач на максимум і мінімум фун-кції.		2 год.
12.	Невизначений інтеграл. Основні методи інтегрування функції однієї зменної. Розв"язування задач на інтегрування основних класів функцій.		2 год.
13.	Визначений інтеграл. Основні методи обчислення визначених інтегралів. Розв"язування задач на геометричне застосування визначеного інтеграла.		2 год.
14.	Функції багатьох змінних. Границі функції. Неперервність. Частинні похідні. Диференціал функції декількох змінних.		2 год.
15.	Дослідження функцій декількох змінних. Розв"язування задач на екстремуми функцій декількох змінних. Умовні екстремуми, метод множників Лагранжа.		2 год.
16.	Невластиві інтеграли першого і другого роду.		1 год.
17.	Подвійні інтеграли. Зведення подвійного інтеграла до повторного		2 год.

2.3. Самостійна робота – 34 годин.

№	Зміст самостійної ороботи	Години
1.	Опрацювання лекційного матеріалу та підготовка до здачі модулів.	14 год.
2.	Виконання індивідуальних домашніх завдань (графічно- розрахункових робіт).	8 год.
3.	Підготовка до практичних занять.	10 год.
4.	Захист графічно-розрахункових робіт.	2 год.
	Разом	34 год.

Теми індивідуальних графічно-розрахункових робіт.

Тема 1.	"Лінійна алгебра та аналітична геометрія" (1 модульний контроль)
Тема 2.	"Диференціальне та інтегральне числення " (2 модульний контроль)

3. Навчально-методична література.

3.1. Література до теоретичного курсу.

1. Н. В. Ефимов "Краткий курс аналитической геометрии". М. "Наука", 1965.
2. В.А. Ильин, Є.Г. Позняк "Линейная алгебра" . -М. "Наука", 1978.
3. В.А. Ильин, Є.Г. Позняк "Аналитическая геометрия" . -М. "Наука", 1971.
4. В.А. Ильин, Є.Г. Позняк "Основы математического анализа" т.1-2. -М. "Наука", 1971.
5. В.П.Кудрявцев, В.А.Демидович "Краткий курс высшей математики". -М. Физматгиз, 1962, 1975.
6. Н.С. Пискунов "Дифференциальное и интегральное исчисление"
7. М. "Наука", т1. 1985.

1998 р.